Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20570 / 28738
↖ ↑ ↗
← N 70.552350°
W123.502808°		 ← 101.69 m → N 70.552350°
W123.500061°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 70.551435°
W123.502808°		 ← 101.69 m →
10 340 m²		 N 70.551435°
W123.500061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156940460205078 y=0.219257354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156940460205078 × 217)
    floor (0.156940460205078 × 131072)
    floor (20570.5)     		tx = 20570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219257354736328 × 217)
    floor (0.219257354736328 × 131072)
    floor (28738.5)     		ty = 28738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20570 / 28738 ti = "17/20570/28738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20570/28738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20570 ÷ 217
    20570 ÷ 131072     		x = 0.156936645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28738 ÷ 217
    28738 ÷ 131072     		y = 0.219253540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156936645507812 × 2 - 1) × π
    -0.686126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15553063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219253540039062 × 2 - 1) × π
    0.561492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76398203221883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15553063} λ = -2.15553063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76398203221883))-π/2
    2×atan(5.83562885129653)-π/2
    2×1.40108356199966-π/2
    2.80216712399933-1.57079632675     		φ = 1.23137080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15553063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.502808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23137080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.552350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20570 KachelY 28738 -2.15553063 1.23137080 -123.502808 70.552350
    Oben rechts KachelX + 1 20571 KachelY 28738 -2.15548269 1.23137080 -123.500061 70.552350
    Unten links KachelX 20570 KachelY + 1 28739 -2.15553063 1.23135484 -123.502808 70.551435
    Unten rechts KachelX + 1 20571 KachelY + 1 28739 -2.15548269 1.23135484 -123.500061 70.551435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23137080-1.23135484) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23137080-1.23135484) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15553063--2.15548269) × cos(1.23137080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332945449847657 × 6371000     		do = 101.690110399287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15553063--2.15548269) × cos(1.23135484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332960499224838 × 6371000     		du = 101.694706866449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23137080)-sin(1.23135484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332945449847657-0.332960499224838)×R²
    abs(-2.15548269--2.15553063)×1.50493771812754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50493771812754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50493771812754e-05×40589641000000     		ar = 10340.202073126m²