Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20568 / 12344
↖ ↑ ↗
← N 81.069368°
W123.508301°		 ← 47.40 m → N 81.069368°
W123.505554°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.068942°
W123.508301°		 ← 47.41 m →
2 247 m²		 N 81.068942°
W123.505554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156925201416016 y=0.0941810607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156925201416016 × 217)
    floor (0.156925201416016 × 131072)
    floor (20568.5)     		tx = 20568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941810607910156 × 217)
    floor (0.0941810607910156 × 131072)
    floor (12344.5)     		ty = 12344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20568 / 12344 ti = "17/20568/12344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20568/12344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20568 ÷ 217
    20568 ÷ 131072     		x = 0.15692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12344 ÷ 217
    12344 ÷ 131072     		y = 0.09417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.6861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15562650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09417724609375 × 2 - 1) × π
    0.8116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54985956459003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15562650} λ = -2.15562650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54985956459003))-π/2
    2×atan(12.8053053380784)-π/2
    2×1.49286186448339-π/2
    2.98572372896678-1.57079632675     		φ = 1.41492740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15562650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41492740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.069368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20568 KachelY 12344 -2.15562650 1.41492740 -123.508301 81.069368
    Oben rechts KachelX + 1 20569 KachelY 12344 -2.15557857 1.41492740 -123.505554 81.069368
    Unten links KachelX 20568 KachelY + 1 12345 -2.15562650 1.41491996 -123.508301 81.068942
    Unten rechts KachelX + 1 20569 KachelY + 1 12345 -2.15557857 1.41491996 -123.505554 81.068942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41492740-1.41491996) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41492740-1.41491996) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15562650--2.15557857) × cos(1.41492740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155238550594775 × 6371000     		do = 47.4039589439072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15562650--2.15557857) × cos(1.41491996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155245900395454 × 6371000     		du = 47.4062032939626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41492740)-sin(1.41491996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155238550594775-0.155245900395454)×R²
    abs(-2.15557857--2.15562650)×7.34980067870761e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34980067870761e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34980067870761e-06×40589641000000     		ar = 2247.0122222759m²