Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20565 / 12349
↖ ↑ ↗
← N 81.067236°
W123.516540°		 ← 47.42 m → N 81.067236°
W123.513794°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.066810°
W123.516540°		 ← 47.42 m →
2 248 m²		 N 81.066810°
W123.513794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156902313232422 y=0.0942192077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156902313232422 × 217)
    floor (0.156902313232422 × 131072)
    floor (20565.5)     		tx = 20565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942192077636719 × 217)
    floor (0.0942192077636719 × 131072)
    floor (12349.5)     		ty = 12349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20565 / 12349 ti = "17/20565/12349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20565/12349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20565 ÷ 217
    20565 ÷ 131072     		x = 0.156898498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12349 ÷ 217
    12349 ÷ 131072     		y = 0.0942153930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156898498535156 × 2 - 1) × π
    -0.686203002929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.15577031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942153930664062 × 2 - 1) × π
    0.811569213867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.54961988009193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15577031} λ = -2.15577031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54961988009193))-π/2
    2×atan(12.8022364726898)-π/2
    2×1.4928432581439-π/2
    2.9856865162878-1.57079632675     		φ = 1.41489019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15577031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.516540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41489019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.067236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20565 KachelY 12349 -2.15577031 1.41489019 -123.516540 81.067236
    Oben rechts KachelX + 1 20566 KachelY 12349 -2.15572238 1.41489019 -123.513794 81.067236
    Unten links KachelX 20565 KachelY + 1 12350 -2.15577031 1.41488275 -123.516540 81.066810
    Unten rechts KachelX + 1 20566 KachelY + 1 12350 -2.15572238 1.41488275 -123.513794 81.066810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41489019-1.41488275) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41489019-1.41488275) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15577031--2.15572238) × cos(1.41489019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155275309390942 × 6371000     		do = 47.4151836845253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15577031--2.15572238) × cos(1.41488275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155282659148638 × 6371000     		du = 47.4174280214552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41489019)-sin(1.41488275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155275309390942-0.155282659148638)×R²
    abs(-2.15572238--2.15577031)×7.34975769575708e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34975769575708e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34975769575708e-06×40589641000000     		ar = 2247.54427726848m²