Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2056 / 2038
↖ ↑ ↗
← N 79.212538°
W134.824219°		 ← 457.30 m → N 79.212538°
W134.802246°		 →
↑
457.37 m
↓
↑
457.37 m
↓
N 79.208424°
W134.824219°		 ← 457.47 m →
209 196 m²		 N 79.208424°
W134.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125518798828125 y=0.124420166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125518798828125 × 214)
    floor (0.125518798828125 × 16384)
    floor (2056.5)     		tx = 2056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124420166015625 × 214)
    floor (0.124420166015625 × 16384)
    floor (2038.5)     		ty = 2038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2056 / 2038 ti = "14/2056/2038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2056/2038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2056 ÷ 214
    2056 ÷ 16384     		x = 0.12548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2038 ÷ 214
    2038 ÷ 16384     		y = 0.1243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12548828125 × 2 - 1) × π
    -0.7490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35312653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1243896484375 × 2 - 1) × π
    0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35312653} λ = -2.35312653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3600294420946))-π/2
    2×atan(10.5912632768188)-π/2
    2×1.47665795855319-π/2
    2.95331591710638-1.57079632675     		φ = 1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35312653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2056 KachelY 2038 -2.35312653 1.38251959 -134.824219 79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 2057 KachelY 2038 -2.35274303 1.38251959 -134.802246 79.212538
    Unten links KachelX 2056 KachelY + 1 2039 -2.35312653 1.38244780 -134.824219 79.208424
    Unten rechts KachelX + 1 2057 KachelY + 1 2039 -2.35274303 1.38244780 -134.802246 79.208424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38251959-1.38244780) × R
    7.1790000000016e-05 × 6371000     		dl = 457.374090000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38251959-1.38244780) × R
    7.1790000000016e-05 × 6371000     		dr = 457.374090000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35312653--2.35274303) × cos(1.38251959) × R
    0.00038349999999987 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 457.299552173865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35312653--2.35274303) × cos(1.38244780) × R
    0.00038349999999987 × 0.187236884488698 × 6371000     		du = 457.471854278065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38251959)-sin(1.38244780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.187236884488698)×R²
    abs(-2.35274303--2.35312653)×7.05208612935826e-05×R²
    0.00038349999999987×7.05208612935826e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.05208612935826e-05×40589641000000     		ar = 209196.369882689m²