Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20554 / 12362
↖ ↑ ↗
← N 81.061691°
W123.546753°		 ← 47.45 m → N 81.061691°
W123.544006°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.061264°
W123.546753°		 ← 47.46 m →
2 252 m²		 N 81.061264°
W123.544006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156818389892578 y=0.0943183898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156818389892578 × 217)
    floor (0.156818389892578 × 131072)
    floor (20554.5)     		tx = 20554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943183898925781 × 217)
    floor (0.0943183898925781 × 131072)
    floor (12362.5)     		ty = 12362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20554 / 12362 ti = "17/20554/12362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20554/12362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20554 ÷ 217
    20554 ÷ 131072     		x = 0.156814575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12362 ÷ 217
    12362 ÷ 131072     		y = 0.0943145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156814575195312 × 2 - 1) × π
    -0.686370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15629762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943145751953125 × 2 - 1) × π
    0.811370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54899670039687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15629762} λ = -2.15629762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54899670039687))-π/2
    2×atan(12.7942608642454)-π/2
    2×1.49279486103823-π/2
    2.98558972207645-1.57079632675     		φ = 1.41479340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15629762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.546753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41479340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.061691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20554 KachelY 12362 -2.15629762 1.41479340 -123.546753 81.061691
    Oben rechts KachelX + 1 20555 KachelY 12362 -2.15624968 1.41479340 -123.544006 81.061691
    Unten links KachelX 20554 KachelY + 1 12363 -2.15629762 1.41478595 -123.546753 81.061264
    Unten rechts KachelX + 1 20555 KachelY + 1 12363 -2.15624968 1.41478595 -123.544006 81.061264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41479340-1.41478595) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41479340-1.41478595) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15629762--2.15624968) × cos(1.41479340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		do = 47.4542796571697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15629762--2.15624968) × cos(1.41478595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155378284244755 × 6371000     		du = 47.4565274453534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41479340)-sin(1.41478595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155370924720362-0.155378284244755)×R²
    abs(-2.15624968--2.15629762)×7.35952439281928e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35952439281928e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35952439281928e-06×40589641000000     		ar = 2252.42090124167m²