Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20553 / 12103
↖ ↑ ↗
← N 81.171540°
W123.549500°		 ← 46.88 m → N 81.171540°
W123.546753°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
N 81.171119°
W123.549500°		 ← 46.88 m →
2 195 m²		 N 81.171119°
W123.546753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156810760498047 y=0.0923423767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156810760498047 × 217)
    floor (0.156810760498047 × 131072)
    floor (20553.5)     		tx = 20553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923423767089844 × 217)
    floor (0.0923423767089844 × 131072)
    floor (12103.5)     		ty = 12103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20553 / 12103 ti = "17/20553/12103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20553/12103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20553 ÷ 217
    20553 ÷ 131072     		x = 0.156806945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12103 ÷ 217
    12103 ÷ 131072     		y = 0.0923385620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156806945800781 × 2 - 1) × π
    -0.686386108398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.15634556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0923385620117188 × 2 - 1) × π
    0.815322875976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.56141235739846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15634556} λ = -2.15634556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56141235739846))-π/2
    2×atan(12.9541002207929)-π/2
    2×1.49375348580155-π/2
    2.98750697160311-1.57079632675     		φ = 1.41671064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15634556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.549500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41671064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.171540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20553 KachelY 12103 -2.15634556 1.41671064 -123.549500 81.171540
    Oben rechts KachelX + 1 20554 KachelY 12103 -2.15629762 1.41671064 -123.546753 81.171540
    Unten links KachelX 20553 KachelY + 1 12104 -2.15634556 1.41670329 -123.549500 81.171119
    Unten rechts KachelX + 1 20554 KachelY + 1 12104 -2.15629762 1.41670329 -123.546753 81.171119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41671064-1.41670329) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41671064-1.41670329) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15634556--2.15629762) × cos(1.41671064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153476682899168 × 6371000     		do = 46.8757294471931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15634556--2.15629762) × cos(1.41670329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153483945814204 × 6371000     		du = 46.8779477283923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41671064)-sin(1.41670329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153476682899168-0.153483945814204)×R²
    abs(-2.15629762--2.15634556)×7.26291503544418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.26291503544418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.26291503544418e-06×40589641000000     		ar = 2195.09468919361m²