Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20551 / 28747
↖ ↑ ↗
← N 70.544118°
W123.554993°		 ← 101.73 m → N 70.544118°
W123.552246°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 70.543203°
W123.554993°		 ← 101.74 m →
10 344 m²		 N 70.543203°
W123.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156795501708984 y=0.219326019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156795501708984 × 217)
    floor (0.156795501708984 × 131072)
    floor (20551.5)     		tx = 20551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219326019287109 × 217)
    floor (0.219326019287109 × 131072)
    floor (28747.5)     		ty = 28747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20551 / 28747 ti = "17/20551/28747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20551/28747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20551 ÷ 217
    20551 ÷ 131072     		x = 0.156791687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28747 ÷ 217
    28747 ÷ 131072     		y = 0.219322204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156791687011719 × 2 - 1) × π
    -0.686416625976562 × 3.1415926535     		Λ = -2.15644143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219322204589844 × 2 - 1) × π
    0.561355590820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.76355060012225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15644143} λ = -2.15644143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76355060012225))-π/2
    2×atan(5.83311171673171)-π/2
    2×1.40101172571148-π/2
    2.80202345142295-1.57079632675     		φ = 1.23122712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15644143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.554993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23122712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.544118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20551 KachelY 28747 -2.15644143 1.23122712 -123.554993 70.544118
    Oben rechts KachelX + 1 20552 KachelY 28747 -2.15639349 1.23122712 -123.552246 70.544118
    Unten links KachelX 20551 KachelY + 1 28748 -2.15644143 1.23121116 -123.554993 70.543203
    Unten rechts KachelX + 1 20552 KachelY + 1 28748 -2.15639349 1.23121116 -123.552246 70.543203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23122712-1.23121116) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23122712-1.23121116) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15644143--2.15639349) × cos(1.23122712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333080928904656 × 6371000     		do = 101.731489190525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15644143--2.15639349) × cos(1.23121116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333095977518176 × 6371000     		du = 101.736085424446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23122712)-sin(1.23121116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333080928904656-0.333095977518176)×R²
    abs(-2.15639349--2.15644143)×1.50486135205297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50486135205297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50486135205297e-05×40589641000000     		ar = 10344.4095048867m²