Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20551 / 12360
↖ ↑ ↗
← N 81.062544°
W123.554993°		 ← 47.45 m → N 81.062544°
W123.552246°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.062117°
W123.554993°		 ← 47.45 m →
2 252 m²		 N 81.062117°
W123.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156795501708984 y=0.0943031311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156795501708984 × 217)
    floor (0.156795501708984 × 131072)
    floor (20551.5)     		tx = 20551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943031311035156 × 217)
    floor (0.0943031311035156 × 131072)
    floor (12360.5)     		ty = 12360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20551 / 12360 ti = "17/20551/12360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20551/12360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20551 ÷ 217
    20551 ÷ 131072     		x = 0.156791687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12360 ÷ 217
    12360 ÷ 131072     		y = 0.09429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156791687011719 × 2 - 1) × π
    -0.686416625976562 × 3.1415926535     		Λ = -2.15644143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09429931640625 × 2 - 1) × π
    0.8114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54909257419611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15644143} λ = -2.15644143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54909257419611))-π/2
    2×atan(12.7954875574458)-π/2
    2×1.49280230868618-π/2
    2.98560461737237-1.57079632675     		φ = 1.41480829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15644143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.554993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41480829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.062544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20551 KachelY 12360 -2.15644143 1.41480829 -123.554993 81.062544
    Oben rechts KachelX + 1 20552 KachelY 12360 -2.15639349 1.41480829 -123.552246 81.062544
    Unten links KachelX 20551 KachelY + 1 12361 -2.15644143 1.41480084 -123.554993 81.062117
    Unten rechts KachelX + 1 20552 KachelY + 1 12361 -2.15639349 1.41480084 -123.552246 81.062117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41480829-1.41480084) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41480829-1.41480084) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15644143--2.15639349) × cos(1.41480829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155356215524291 × 6371000     		do = 47.449787090075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15644143--2.15639349) × cos(1.41480084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155363575065919 × 6371000     		du = 47.4520348835228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41480829)-sin(1.41480084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155356215524291-0.155363575065919)×R²
    abs(-2.15639349--2.15644143)×7.35954162778274e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35954162778274e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35954162778274e-06×40589641000000     		ar = 2252.20766658926m²