Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20550 / 12354
↖ ↑ ↗
← N 81.065104°
W123.557739°		 ← 47.44 m → N 81.065104°
W123.554993°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.064677°
W123.557739°		 ← 47.44 m →
2 252 m²		 N 81.064677°
W123.554993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156787872314453 y=0.0942573547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156787872314453 × 217)
    floor (0.156787872314453 × 131072)
    floor (20550.5)     		tx = 20550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942573547363281 × 217)
    floor (0.0942573547363281 × 131072)
    floor (12354.5)     		ty = 12354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20550 / 12354 ti = "17/20550/12354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20550/12354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20550 ÷ 217
    20550 ÷ 131072     		x = 0.156784057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12354 ÷ 217
    12354 ÷ 131072     		y = 0.0942535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.686431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15648937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942535400390625 × 2 - 1) × π
    0.811492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54938019559383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15648937} λ = -2.15648937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54938019559383))-π/2
    2×atan(12.7991683427726)-π/2
    2×1.49282464739833-π/2
    2.98564929479666-1.57079632675     		φ = 1.41485297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15648937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.557739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41485297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20550 KachelY 12354 -2.15648937 1.41485297 -123.557739 81.065104
    Oben rechts KachelX + 1 20551 KachelY 12354 -2.15644143 1.41485297 -123.554993 81.065104
    Unten links KachelX 20550 KachelY + 1 12355 -2.15648937 1.41484552 -123.557739 81.064677
    Unten rechts KachelX + 1 20551 KachelY + 1 12355 -2.15644143 1.41484552 -123.554993 81.064677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41485297-1.41484552) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41485297-1.41484552) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15648937--2.15644143) × cos(1.41485297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155312077850772 × 6371000     		do = 47.4363063084786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15648937--2.15644143) × cos(1.41484552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155319437444107 × 6371000     		du = 47.4385541177189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41485297)-sin(1.41484552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155312077850772-0.155319437444107)×R²
    abs(-2.15644143--2.15648937)×7.35959333447722e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35959333447722e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35959333447722e-06×40589641000000     		ar = 2251.56781572843m²