Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20548 / 12348
↖ ↑ ↗
← N 81.067663°
W123.563232°		 ← 47.42 m → N 81.067663°
W123.560486°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.067236°
W123.563232°		 ← 47.43 m →
2 248 m²		 N 81.067236°
W123.560486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156772613525391 y=0.0942115783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156772613525391 × 217)
    floor (0.156772613525391 × 131072)
    floor (20548.5)     		tx = 20548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942115783691406 × 217)
    floor (0.0942115783691406 × 131072)
    floor (12348.5)     		ty = 12348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20548 / 12348 ti = "17/20548/12348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20548/12348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20548 ÷ 217
    20548 ÷ 131072     		x = 0.156768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12348 ÷ 217
    12348 ÷ 131072     		y = 0.094207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.68646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15658524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094207763671875 × 2 - 1) × π
    0.81158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54966781699155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15658524} λ = -2.15658524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54966781699155))-π/2
    2×atan(12.8028501869242)-π/2
    2×1.49284697976425-π/2
    2.9856939595285-1.57079632675     		φ = 1.41489763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15658524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41489763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.067663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20548 KachelY 12348 -2.15658524 1.41489763 -123.563232 81.067663
    Oben rechts KachelX + 1 20549 KachelY 12348 -2.15653730 1.41489763 -123.560486 81.067663
    Unten links KachelX 20548 KachelY + 1 12349 -2.15658524 1.41489019 -123.563232 81.067236
    Unten rechts KachelX + 1 20549 KachelY + 1 12349 -2.15653730 1.41489019 -123.560486 81.067236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41489763-1.41489019) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41489763-1.41489019) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15658524--2.15653730) × cos(1.41489763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155267959624651 × 6371000     		do = 47.4228314666182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15658524--2.15653730) × cos(1.41489019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155275309390942 × 6371000     		du = 47.4250762744264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41489763)-sin(1.41489019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155267959624651-0.155275309390942)×R²
    abs(-2.15653730--2.15658524)×7.34976629102047e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34976629102047e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34976629102047e-06×40589641000000     		ar = 2247.90679529366m²