Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20546 / 28737
↖ ↑ ↗
← N 70.553264°
W123.568725°		 ← 101.66 m → N 70.553264°
W123.565979°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 70.552350°
W123.568725°		 ← 101.67 m →
10 338 m²		 N 70.552350°
W123.565979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156757354736328 y=0.219249725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156757354736328 × 217)
    floor (0.156757354736328 × 131072)
    floor (20546.5)     		tx = 20546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219249725341797 × 217)
    floor (0.219249725341797 × 131072)
    floor (28737.5)     		ty = 28737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20546 / 28737 ti = "17/20546/28737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20546/28737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20546 ÷ 217
    20546 ÷ 131072     		x = 0.156753540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28737 ÷ 217
    28737 ÷ 131072     		y = 0.219245910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.686492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15668111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219245910644531 × 2 - 1) × π
    0.561508178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.76402996911845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15668111} λ = -2.15668111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76402996911845))-π/2
    2×atan(5.83590859995608)-π/2
    2×1.40109154200567-π/2
    2.80218308401135-1.57079632675     		φ = 1.23138676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15668111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.568725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23138676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.553264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20546 KachelY 28737 -2.15668111 1.23138676 -123.568725 70.553264
    Oben rechts KachelX + 1 20547 KachelY 28737 -2.15663318 1.23138676 -123.565979 70.553264
    Unten links KachelX 20546 KachelY + 1 28738 -2.15668111 1.23137080 -123.568725 70.552350
    Unten rechts KachelX + 1 20547 KachelY + 1 28738 -2.15663318 1.23137080 -123.565979 70.552350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23138676-1.23137080) × R
    1.5959999999815e-05 × 6371000     		dl = 101.681159998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23138676-1.23137080) × R
    1.5959999999815e-05 × 6371000     		dr = 101.681159998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15668111--2.15663318) × cos(1.23138676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332930400385668 × 6371000     		do = 101.664302910542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15668111--2.15663318) × cos(1.23137080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332945449847657 × 6371000     		du = 101.668898444806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23138676)-sin(1.23137080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332930400385668-0.332945449847657)×R²
    abs(-2.15663318--2.15668111)×1.50494619894914e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50494619894914e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50494619894914e-05×40589641000000     		ar = 10337.5778902634m²