Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20546 / 12358
↖ ↑ ↗
← N 81.063397°
W123.568725°		 ← 47.44 m → N 81.063397°
W123.565979°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.062971°
W123.568725°		 ← 47.44 m →
2 249 m²		 N 81.062971°
W123.565979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156757354736328 y=0.0942878723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156757354736328 × 217)
    floor (0.156757354736328 × 131072)
    floor (20546.5)     		tx = 20546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942878723144531 × 217)
    floor (0.0942878723144531 × 131072)
    floor (12358.5)     		ty = 12358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20546 / 12358 ti = "17/20546/12358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20546/12358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20546 ÷ 217
    20546 ÷ 131072     		x = 0.156753540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12358 ÷ 217
    12358 ÷ 131072     		y = 0.0942840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.686492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15668111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942840576171875 × 2 - 1) × π
    0.811431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54918844799535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15668111} λ = -2.15668111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54918844799535))-π/2
    2×atan(12.7967143682597)-π/2
    2×1.49280975562881-π/2
    2.98561951125762-1.57079632675     		φ = 1.41482318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15668111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.568725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41482318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20546 KachelY 12358 -2.15668111 1.41482318 -123.568725 81.063397
    Oben rechts KachelX + 1 20547 KachelY 12358 -2.15663318 1.41482318 -123.565979 81.063397
    Unten links KachelX 20546 KachelY + 1 12359 -2.15668111 1.41481574 -123.568725 81.062971
    Unten rechts KachelX + 1 20547 KachelY + 1 12359 -2.15663318 1.41481574 -123.565979 81.062971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41482318-1.41481574) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41482318-1.41481574) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15668111--2.15663318) × cos(1.41482318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155341506293777 × 6371000     		do = 47.4353977051544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15668111--2.15663318) × cos(1.41481574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155348855974041 × 6371000     		du = 47.4376420184398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41482318)-sin(1.41481574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155341506293777-0.155348855974041)×R²
    abs(-2.15663318--2.15668111)×7.34968026422367e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34968026422367e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34968026422367e-06×40589641000000     		ar = 2248.50242620469m²