Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20545 / 12352
↖ ↑ ↗
← N 81.065957°
W123.571472°		 ← 47.43 m → N 81.065957°
W123.568725°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.065530°
W123.571472°		 ← 47.43 m →
2 251 m²		 N 81.065530°
W123.568725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156749725341797 y=0.0942420959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156749725341797 × 217)
    floor (0.156749725341797 × 131072)
    floor (20545.5)     		tx = 20545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942420959472656 × 217)
    floor (0.0942420959472656 × 131072)
    floor (12352.5)     		ty = 12352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20545 / 12352 ti = "17/20545/12352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20545/12352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20545 ÷ 217
    20545 ÷ 131072     		x = 0.156745910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12352 ÷ 217
    12352 ÷ 131072     		y = 0.09423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156745910644531 × 2 - 1) × π
    -0.686508178710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.15672905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15672905} λ = -2.15672905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54947606939307))-π/2
    2×atan(12.8003955064942)-π/2
    2×1.49283209222535-π/2
    2.98566418445071-1.57079632675     		φ = 1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15672905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.571472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20545 KachelY 12352 -2.15672905 1.41486786 -123.571472 81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 20546 KachelY 12352 -2.15668111 1.41486786 -123.568725 81.065957
    Unten links KachelX 20545 KachelY + 1 12353 -2.15672905 1.41486041 -123.571472 81.065530
    Unten rechts KachelX + 1 20546 KachelY + 1 12353 -2.15668111 1.41486041 -123.568725 81.065530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41486786-1.41486041) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41486786-1.41486041) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15672905--2.15668111) × cos(1.41486786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 47.4318136993022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15672905--2.15668111) × cos(1.41486041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155304728127484 × 6371000     		du = 47.4340615138045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41486786)-sin(1.41486041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155304728127484)×R²
    abs(-2.15668111--2.15672905)×7.35961056289036e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35961056289036e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35961056289036e-06×40589641000000     		ar = 2251.35457891567m²