Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20544 / 12350
↖ ↑ ↗
← N 81.066810°
W123.574219°		 ← 47.43 m → N 81.066810°
W123.571472°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.066383°
W123.574219°		 ← 47.43 m →
2 251 m²		 N 81.066383°
W123.571472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156742095947266 y=0.0942268371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156742095947266 × 217)
    floor (0.156742095947266 × 131072)
    floor (20544.5)     		tx = 20544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942268371582031 × 217)
    floor (0.0942268371582031 × 131072)
    floor (12350.5)     		ty = 12350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20544 / 12350 ti = "17/20544/12350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20544/12350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20544 ÷ 217
    20544 ÷ 131072     		x = 0.15673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12350 ÷ 217
    12350 ÷ 131072     		y = 0.0942230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    -0.6865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15677699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942230224609375 × 2 - 1) × π
    0.811553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54957194319231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15677699} λ = -2.15677699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54957194319231))-π/2
    2×atan(12.8016227878743)-π/2
    2×1.49283953634731-π/2
    2.98567907269461-1.57079632675     		φ = 1.41488275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15677699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41488275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.066810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20544 KachelY 12350 -2.15677699 1.41488275 -123.574219 81.066810
    Oben rechts KachelX + 1 20545 KachelY 12350 -2.15672905 1.41488275 -123.571472 81.066810
    Unten links KachelX 20544 KachelY + 1 12351 -2.15677699 1.41487530 -123.574219 81.066383
    Unten rechts KachelX + 1 20545 KachelY + 1 12351 -2.15672905 1.41487530 -123.571472 81.066383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41488275-1.41487530) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41488275-1.41487530) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15677699--2.15672905) × cos(1.41488275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155282659148638 × 6371000     		do = 47.4273210796095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15677699--2.15672905) × cos(1.41487530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155290018776428 × 6371000     		du = 47.4295688993733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41488275)-sin(1.41487530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155282659148638-0.155290018776428)×R²
    abs(-2.15672905--2.15677699)×7.35962778972143e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35962778972143e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35962778972143e-06×40589641000000     		ar = 2251.14134167084m²