Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20538 / 28731
↖ ↑ ↗
← N 70.558750°
W123.590698°		 ← 101.66 m → N 70.558750°
W123.587952°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
N 70.557836°
W123.590698°		 ← 101.66 m →
10 330 m²		 N 70.557836°
W123.587952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156696319580078 y=0.219203948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156696319580078 × 217)
    floor (0.156696319580078 × 131072)
    floor (20538.5)     		tx = 20538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219203948974609 × 217)
    floor (0.219203948974609 × 131072)
    floor (28731.5)     		ty = 28731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20538 / 28731 ti = "17/20538/28731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20538/28731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20538 ÷ 217
    20538 ÷ 131072     		x = 0.156692504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28731 ÷ 217
    28731 ÷ 131072     		y = 0.219200134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156692504882812 × 2 - 1) × π
    -0.686614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15706461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219200134277344 × 2 - 1) × π
    0.561599731445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.76431759051617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15706461} λ = -2.15706461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76431759051617))-π/2
    2×atan(5.8375873735586)-π/2
    2×1.40113941446742-π/2
    2.80227882893484-1.57079632675     		φ = 1.23148250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15706461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.590698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23148250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.558750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20538 KachelY 28731 -2.15706461 1.23148250 -123.590698 70.558750
    Oben rechts KachelX + 1 20539 KachelY 28731 -2.15701667 1.23148250 -123.587952 70.558750
    Unten links KachelX 20538 KachelY + 1 28732 -2.15706461 1.23146655 -123.590698 70.557836
    Unten rechts KachelX + 1 20539 KachelY + 1 28732 -2.15701667 1.23146655 -123.587952 70.557836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23148250-1.23146655) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23148250-1.23146655) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15706461--2.15701667) × cos(1.23148250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332840120692634 × 6371000     		do = 101.65794016417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15706461--2.15701667) × cos(1.23146655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332855161233507 × 6371000     		du = 101.662533932497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23148250)-sin(1.23146655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332840120692634-0.332855161233507)×R²
    abs(-2.15701667--2.15706461)×1.50405408737564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50405408737564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50405408737564e-05×40589641000000     		ar = 10330.4540555028m²