Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20537 / 12345
↖ ↑ ↗
← N 81.068942°
W123.593445°		 ← 47.42 m → N 81.068942°
W123.590698°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.068516°
W123.593445°		 ← 47.42 m →
2 248 m²		 N 81.068516°
W123.590698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156688690185547 y=0.0941886901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156688690185547 × 217)
    floor (0.156688690185547 × 131072)
    floor (20537.5)     		tx = 20537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941886901855469 × 217)
    floor (0.0941886901855469 × 131072)
    floor (12345.5)     		ty = 12345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20537 / 12345 ti = "17/20537/12345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20537/12345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20537 ÷ 217
    20537 ÷ 131072     		x = 0.156684875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12345 ÷ 217
    12345 ÷ 131072     		y = 0.0941848754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156684875488281 × 2 - 1) × π
    -0.686630249023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.15711255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941848754882812 × 2 - 1) × π
    0.811630249023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.54981162769041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15711255} λ = -2.15711255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54981162769041))-π/2
    2×atan(12.8046915061545)-π/2
    2×1.49285814356793-π/2
    2.98571628713586-1.57079632675     		φ = 1.41491996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15711255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.593445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41491996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.068942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20537 KachelY 12345 -2.15711255 1.41491996 -123.593445 81.068942
    Oben rechts KachelX + 1 20538 KachelY 12345 -2.15706461 1.41491996 -123.590698 81.068942
    Unten links KachelX 20537 KachelY + 1 12346 -2.15711255 1.41491252 -123.593445 81.068516
    Unten rechts KachelX + 1 20538 KachelY + 1 12346 -2.15706461 1.41491252 -123.590698 81.068516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41491996-1.41491252) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41491996-1.41491252) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15711255--2.15706461) × cos(1.41491996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155245900395454 × 6371000     		do = 47.4160940102167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15711255--2.15706461) × cos(1.41491252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155253250187539 × 6371000     		du = 47.4183388259032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41491996)-sin(1.41491252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155245900395454-0.155253250187539)×R²
    abs(-2.15706461--2.15711255)×7.34979208527609e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34979208527609e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34979208527609e-06×40589641000000     		ar = 2247.5874383585m²