Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20532 / 12188
↖ ↑ ↗
← N 81.135638°
W123.607178°		 ← 47.06 m → N 81.135638°
W123.604431°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.135215°
W123.607178°		 ← 47.07 m →
2 213 m²		 N 81.135215°
W123.604431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156650543212891 y=0.0929908752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156650543212891 × 217)
    floor (0.156650543212891 × 131072)
    floor (20532.5)     		tx = 20532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0929908752441406 × 217)
    floor (0.0929908752441406 × 131072)
    floor (12188.5)     		ty = 12188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20532 / 12188 ti = "17/20532/12188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20532/12188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20532 ÷ 217
    20532 ÷ 131072     		x = 0.156646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12188 ÷ 217
    12188 ÷ 131072     		y = 0.092987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.68670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15735223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092987060546875 × 2 - 1) × π
    0.81402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55733772093076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15735223} λ = -2.15735223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55733772093076))-π/2
    2×atan(12.9014243619945)-π/2
    2×1.49344017465848-π/2
    2.98688034931696-1.57079632675     		φ = 1.41608402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15735223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41608402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.135638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20532 KachelY 12188 -2.15735223 1.41608402 -123.607178 81.135638
    Oben rechts KachelX + 1 20533 KachelY 12188 -2.15730429 1.41608402 -123.604431 81.135638
    Unten links KachelX 20532 KachelY + 1 12189 -2.15735223 1.41607664 -123.607178 81.135215
    Unten rechts KachelX + 1 20533 KachelY + 1 12189 -2.15730429 1.41607664 -123.604431 81.135215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41608402-1.41607664) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41608402-1.41607664) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15735223--2.15730429) × cos(1.41608402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154095848702279 × 6371000     		do = 47.0648386207907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15735223--2.15730429) × cos(1.41607664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154103140550654 × 6371000     		du = 47.0670657389766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41608402)-sin(1.41607664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154095848702279-0.154103140550654)×R²
    abs(-2.15730429--2.15735223)×7.29184837500174e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.29184837500174e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.29184837500174e-06×40589641000000     		ar = 2212.94599821264m²