Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20530 / 28658
↖ ↑ ↗
← N 70.625374°
W123.612671°		 ← 101.30 m → N 70.625374°
W123.609924°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
N 70.624463°
W123.612671°		 ← 101.31 m →
10 262 m²		 N 70.624463°
W123.609924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156635284423828 y=0.218647003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156635284423828 × 217)
    floor (0.156635284423828 × 131072)
    floor (20530.5)     		tx = 20530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218647003173828 × 217)
    floor (0.218647003173828 × 131072)
    floor (28658.5)     		ty = 28658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20530 / 28658 ti = "17/20530/28658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20530/28658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20530 ÷ 217
    20530 ÷ 131072     		x = 0.156631469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28658 ÷ 217
    28658 ÷ 131072     		y = 0.218643188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156631469726562 × 2 - 1) × π
    -0.686737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15744810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218643188476562 × 2 - 1) × π
    0.562713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76781698418843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15744810} λ = -2.15744810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76781698418843))-π/2
    2×atan(5.85805117443969)-π/2
    2×1.4017208238235-π/2
    2.80344164764701-1.57079632675     		φ = 1.23264532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15744810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.612671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23264532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.625374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20530 KachelY 28658 -2.15744810 1.23264532 -123.612671 70.625374
    Oben rechts KachelX + 1 20531 KachelY 28658 -2.15740017 1.23264532 -123.609924 70.625374
    Unten links KachelX 20530 KachelY + 1 28659 -2.15744810 1.23262942 -123.612671 70.624463
    Unten rechts KachelX + 1 20531 KachelY + 1 28659 -2.15740017 1.23262942 -123.609924 70.624463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23264532-1.23262942) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23264532-1.23262942) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15744810--2.15740017) × cos(1.23264532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331743376104761 × 6371000     		do = 101.301830766465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15744810--2.15740017) × cos(1.23262942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331758375640564 × 6371000     		du = 101.306411055167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23264532)-sin(1.23262942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331743376104761-0.331758375640564)×R²
    abs(-2.15740017--2.15744810)×1.49995358025845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49995358025845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49995358025845e-05×40589641000000     		ar = 10261.9960140509m²