Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20526 / 28778
↖ ↑ ↗
← N 70.515738°
W123.623657°		 ← 101.87 m → N 70.515738°
W123.620910°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.514822°
W123.623657°		 ← 101.88 m →
10 372 m²		 N 70.514822°
W123.620910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156604766845703 y=0.219562530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156604766845703 × 217)
    floor (0.156604766845703 × 131072)
    floor (20526.5)     		tx = 20526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219562530517578 × 217)
    floor (0.219562530517578 × 131072)
    floor (28778.5)     		ty = 28778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20526 / 28778 ti = "17/20526/28778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20526/28778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20526 ÷ 217
    20526 ÷ 131072     		x = 0.156600952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28778 ÷ 217
    28778 ÷ 131072     		y = 0.219558715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156600952148438 × 2 - 1) × π
    -0.686798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15763985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219558715820312 × 2 - 1) × π
    0.560882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76206455623402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15763985} λ = -2.15763985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76206455623402))-π/2
    2×atan(5.82444989423395)-π/2
    2×1.40076406581696-π/2
    2.80152813163391-1.57079632675     		φ = 1.23073180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15763985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.623657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23073180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.515738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20526 KachelY 28778 -2.15763985 1.23073180 -123.623657 70.515738
    Oben rechts KachelX + 1 20527 KachelY 28778 -2.15759191 1.23073180 -123.620910 70.515738
    Unten links KachelX 20526 KachelY + 1 28779 -2.15763985 1.23071582 -123.623657 70.514822
    Unten rechts KachelX + 1 20527 KachelY + 1 28779 -2.15759191 1.23071582 -123.620910 70.514822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23073180-1.23071582) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23073180-1.23071582) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15763985--2.15759191) × cos(1.23073180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333547924383441 × 6371000     		do = 101.87412163021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15763985--2.15759191) × cos(1.23071582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333562989216506 × 6371000     		du = 101.878722817996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23073180)-sin(1.23071582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333547924383441-0.333562989216506)×R²
    abs(-2.15759191--2.15763985)×1.50648330645153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50648330645153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50648330645153e-05×40589641000000     		ar = 10371.8938825013m²