Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20515 / 4958
↖ ↑ ↗
← N 77.239928°
E 45.384522°		 ← 269.82 m → N 77.239928°
E 45.395508°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 77.237501°
E 45.384522°		 ← 269.87 m →
72 808 m²		 N 77.237501°
E 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626083374023438 y=0.151321411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626083374023438 × 215)
    floor (0.626083374023438 × 32768)
    floor (20515.5)     		tx = 20515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151321411132812 × 215)
    floor (0.151321411132812 × 32768)
    floor (4958.5)     		ty = 4958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20515 / 4958 ti = "15/20515/4958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20515/4958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20515 ÷ 215
    20515 ÷ 32768     		x = 0.626068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4958 ÷ 215
    4958 ÷ 32768     		y = 0.15130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626068115234375 × 2 - 1) × π
    0.25213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79210933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15130615234375 × 2 - 1) × π
    0.6973876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19090806023505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79210933} λ = 0.79210933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19090806023505))-π/2
    2×atan(8.94333051140467)-π/2
    2×1.45944368904078-π/2
    2.91888737808157-1.57079632675     		φ = 1.34809105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79210933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34809105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.239928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20515 KachelY 4958 0.79210933 1.34809105 45.384522 77.239928
    Oben rechts KachelX + 1 20516 KachelY 4958 0.79230108 1.34809105 45.395508 77.239928
    Unten links KachelX 20515 KachelY + 1 4959 0.79210933 1.34804870 45.384522 77.237501
    Unten rechts KachelX + 1 20516 KachelY + 1 4959 0.79230108 1.34804870 45.395508 77.237501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34809105-1.34804870) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34809105-1.34804870) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79210933-0.79230108) × cos(1.34809105) × R
    0.000191750000000046 × 0.220868894025784 × 6371000     		do = 269.822110046053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79210933-0.79230108) × cos(1.34804870) × R
    0.000191750000000046 × 0.220910197931246 × 6371000     		du = 269.872568518144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34809105)-sin(1.34804870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220868894025784-0.220910197931246)×R²
    abs(0.79230108-0.79210933)×4.13039054616426e-05×R²
    0.000191750000000046×4.13039054616426e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.13039054616426e-05×40589641000000     		ar = 72808.0098401535m²