Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20514 / 4961
↖ ↑ ↗
← N 77.232646°
E 45.373535°		 ← 269.97 m → N 77.232646°
E 45.384522°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 77.230218°
E 45.373535°		 ← 270.02 m →
72 900 m²		 N 77.230218°
E 45.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626052856445312 y=0.151412963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626052856445312 × 215)
    floor (0.626052856445312 × 32768)
    floor (20514.5)     		tx = 20514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151412963867188 × 215)
    floor (0.151412963867188 × 32768)
    floor (4961.5)     		ty = 4961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20514 / 4961 ti = "15/20514/4961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20514/4961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20514 ÷ 215
    20514 ÷ 32768     		x = 0.62603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4961 ÷ 215
    4961 ÷ 32768     		y = 0.151397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62603759765625 × 2 - 1) × π
    0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151397705078125 × 2 - 1) × π
    0.69720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19033281743961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79191758} λ = 0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19033281743961))-π/2
    2×atan(8.9381874043702)-π/2
    2×1.4593801445976-π/2
    2.9187602891952-1.57079632675     		φ = 1.34796396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34796396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.232646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20514 KachelY 4961 0.79191758 1.34796396 45.373535 77.232646
    Oben rechts KachelX + 1 20515 KachelY 4961 0.79210933 1.34796396 45.384522 77.232646
    Unten links KachelX 20514 KachelY + 1 4962 0.79191758 1.34792158 45.373535 77.230218
    Unten rechts KachelX + 1 20515 KachelY + 1 4962 0.79210933 1.34792158 45.384522 77.230218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34796396-1.34792158) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34796396-1.34792158) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79191758-0.79210933) × cos(1.34796396) × R
    0.000191749999999935 × 0.22099284356449 × 6371000     		do = 269.9735316674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79191758-0.79210933) × cos(1.34792158) × R
    0.000191749999999935 × 0.221034175538715 × 6371000     		du = 270.024024429393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34796396)-sin(1.34792158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22099284356449-0.221034175538715)×R²
    abs(0.79210933-0.79191758)×4.1331974224762e-05×R²
    0.000191749999999935×4.1331974224762e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.1331974224762e-05×40589641000000     		ar = 72900.4746807321m²