Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20514 / 28706
↖ ↑ ↗
← N 70.581591°
W123.656616°		 ← 101.52 m → N 70.581591°
W123.653870°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
N 70.580678°
W123.656616°		 ← 101.53 m →
10 310 m²		 N 70.580678°
W123.653870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156513214111328 y=0.219013214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156513214111328 × 217)
    floor (0.156513214111328 × 131072)
    floor (20514.5)     		tx = 20514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219013214111328 × 217)
    floor (0.219013214111328 × 131072)
    floor (28706.5)     		ty = 28706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20514 / 28706 ti = "17/20514/28706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20514/28706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20514 ÷ 217
    20514 ÷ 131072     		x = 0.156509399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28706 ÷ 217
    28706 ÷ 131072     		y = 0.219009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156509399414062 × 2 - 1) × π
    -0.686981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15821509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219009399414062 × 2 - 1) × π
    0.561981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76551601300667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15821509} λ = -2.15821509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76551601300667))-π/2
    2×atan(5.844587463252)-π/2
    2×1.40133874335287-π/2
    2.80267748670575-1.57079632675     		φ = 1.23188116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15821509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.656616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23188116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.581591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20514 KachelY 28706 -2.15821509 1.23188116 -123.656616 70.581591
    Oben rechts KachelX + 1 20515 KachelY 28706 -2.15816716 1.23188116 -123.653870 70.581591
    Unten links KachelX 20514 KachelY + 1 28707 -2.15821509 1.23186522 -123.656616 70.580678
    Unten rechts KachelX + 1 20515 KachelY + 1 28707 -2.15816716 1.23186522 -123.653870 70.580678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23188116-1.23186522) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23188116-1.23186522) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15821509--2.15816716) × cos(1.23188116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332464164541681 × 6371000     		do = 101.521932186764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15821509--2.15816716) × cos(1.23186522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332479197766708 × 6371000     		du = 101.526522762875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23188116)-sin(1.23186522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332464164541681-0.332479197766708)×R²
    abs(-2.15816716--2.15821509)×1.50332250264396e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50332250264396e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50332250264396e-05×40589641000000     		ar = 10310.1650007414m²