Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20511 / 28708
↖ ↑ ↗
← N 70.579765°
W123.664856°		 ← 101.55 m → N 70.579765°
W123.662109°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
N 70.578851°
W123.664856°		 ← 101.56 m →
10 313 m²		 N 70.578851°
W123.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156490325927734 y=0.219028472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156490325927734 × 217)
    floor (0.156490325927734 × 131072)
    floor (20511.5)     		tx = 20511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219028472900391 × 217)
    floor (0.219028472900391 × 131072)
    floor (28708.5)     		ty = 28708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20511 / 28708 ti = "17/20511/28708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20511/28708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20511 ÷ 217
    20511 ÷ 131072     		x = 0.156486511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28708 ÷ 217
    28708 ÷ 131072     		y = 0.219024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156486511230469 × 2 - 1) × π
    -0.687026977539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.15835891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219024658203125 × 2 - 1) × π
    0.56195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76542013920743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15835891} λ = -2.15835891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76542013920743))-π/2
    2×atan(5.84402714730714)-π/2
    2×1.40132280533104-π/2
    2.80264561066209-1.57079632675     		φ = 1.23184928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15835891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.664856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23184928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.579765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20511 KachelY 28708 -2.15835891 1.23184928 -123.664856 70.579765
    Oben rechts KachelX + 1 20512 KachelY 28708 -2.15831097 1.23184928 -123.662109 70.579765
    Unten links KachelX 20511 KachelY + 1 28709 -2.15835891 1.23183334 -123.664856 70.578851
    Unten rechts KachelX + 1 20512 KachelY + 1 28709 -2.15831097 1.23183334 -123.662109 70.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23184928-1.23183334) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23184928-1.23183334) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15835891--2.15831097) × cos(1.23184928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332494230907257 × 6371000     		do = 101.552296520513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15835891--2.15831097) × cos(1.23183334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332509263963324 × 6371000     		du = 101.556888002787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23184928)-sin(1.23183334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332494230907257-0.332509263963324)×R²
    abs(-2.15831097--2.15835891)×1.50330560675926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50330560675926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50330560675926e-05×40589641000000     		ar = 10313.2486586296m²