Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20511 / 12255
↖ ↑ ↗
← N 81.107236°
W123.664856°		 ← 47.21 m → N 81.107236°
W123.662109°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
N 81.106812°
W123.664856°		 ← 47.22 m →
2 229 m²		 N 81.106812°
W123.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156490325927734 y=0.0935020446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156490325927734 × 217)
    floor (0.156490325927734 × 131072)
    floor (20511.5)     		tx = 20511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935020446777344 × 217)
    floor (0.0935020446777344 × 131072)
    floor (12255.5)     		ty = 12255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20511 / 12255 ti = "17/20511/12255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20511/12255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20511 ÷ 217
    20511 ÷ 131072     		x = 0.156486511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12255 ÷ 217
    12255 ÷ 131072     		y = 0.0934982299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156486511230469 × 2 - 1) × π
    -0.687026977539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.15835891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0934982299804688 × 2 - 1) × π
    0.813003540039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.55412594865621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15835891} λ = -2.15835891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55412594865621))-π/2
    2×atan(12.8600543959441)-π/2
    2×1.49319232122301-π/2
    2.98638464244602-1.57079632675     		φ = 1.41558832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15835891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.664856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41558832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.107236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20511 KachelY 12255 -2.15835891 1.41558832 -123.664856 81.107236
    Oben rechts KachelX + 1 20512 KachelY 12255 -2.15831097 1.41558832 -123.662109 81.107236
    Unten links KachelX 20511 KachelY + 1 12256 -2.15835891 1.41558091 -123.664856 81.106812
    Unten rechts KachelX + 1 20512 KachelY + 1 12256 -2.15831097 1.41558091 -123.662109 81.106812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41558832-1.41558091) × R
    7.40999999981895e-06 × 6371000     		dl = 47.2091099988465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41558832-1.41558091) × R
    7.40999999981895e-06 × 6371000     		dr = 47.2091099988465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15835891--2.15831097) × cos(1.41558832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15458560906173 × 6371000     		do = 47.2144240409987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15835891--2.15831097) × cos(1.41558091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15459292998482 × 6371000     		du = 47.2166600393509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41558832)-sin(1.41558091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15458560906173-0.15459292998482)×R²
    abs(-2.15831097--2.15835891)×7.32092308966537e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32092308966537e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32092308966537e-06×40589641000000     		ar = 2229.00371777281m²