Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20508 / 12212
↖ ↑ ↗
← N 81.125475°
W123.673096°		 ← 47.12 m → N 81.125475°
W123.670349°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.125051°
W123.673096°		 ← 47.12 m →
2 221 m²		 N 81.125051°
W123.670349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156467437744141 y=0.0931739807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156467437744141 × 217)
    floor (0.156467437744141 × 131072)
    floor (20508.5)     		tx = 20508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0931739807128906 × 217)
    floor (0.0931739807128906 × 131072)
    floor (12212.5)     		ty = 12212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20508 / 12212 ti = "17/20508/12212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20508/12212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20508 ÷ 217
    20508 ÷ 131072     		x = 0.156463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12212 ÷ 217
    12212 ÷ 131072     		y = 0.093170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.68707275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15850272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093170166015625 × 2 - 1) × π
    0.81365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55618723533987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15850272} λ = -2.15850272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55618723533987))-π/2
    2×atan(12.8865899941637)-π/2
    2×1.49335148173257-π/2
    2.98670296346515-1.57079632675     		φ = 1.41590664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15850272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.673096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41590664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.125475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20508 KachelY 12212 -2.15850272 1.41590664 -123.673096 81.125475
    Oben rechts KachelX + 1 20509 KachelY 12212 -2.15845478 1.41590664 -123.670349 81.125475
    Unten links KachelX 20508 KachelY + 1 12213 -2.15850272 1.41589924 -123.673096 81.125051
    Unten rechts KachelX + 1 20509 KachelY + 1 12213 -2.15845478 1.41589924 -123.670349 81.125051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41590664-1.41589924) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41590664-1.41589924) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15850272--2.15845478) × cos(1.41590664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1542711076334 × 6371000     		do = 47.1183672095199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15850272--2.15845478) × cos(1.41589924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154278419040482 × 6371000     		du = 47.1206003014385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41590664)-sin(1.41589924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1542711076334-0.154278419040482)×R²
    abs(-2.15845478--2.15850272)×7.31140708254419e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31140708254419e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31140708254419e-06×40589641000000     		ar = 2221.4669094848m²