Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20505 / 4983
↖ ↑ ↗
← N 77.179122°
E 45.274658°		 ← 271.09 m → N 77.179122°
E 45.285644°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 77.176684°
E 45.274658°		 ← 271.14 m →
73 512 m²		 N 77.176684°
E 45.285644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625778198242188 y=0.152084350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625778198242188 × 215)
    floor (0.625778198242188 × 32768)
    floor (20505.5)     		tx = 20505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152084350585938 × 215)
    floor (0.152084350585938 × 32768)
    floor (4983.5)     		ty = 4983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20505 / 4983 ti = "15/20505/4983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20505/4983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20505 ÷ 215
    20505 ÷ 32768     		x = 0.625762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4983 ÷ 215
    4983 ÷ 32768     		y = 0.152069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625762939453125 × 2 - 1) × π
    0.25152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79019185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152069091796875 × 2 - 1) × π
    0.69586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18611437027304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79019185} λ = 0.79019185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18611437027304))-π/2
    2×atan(8.90056155017593)-π/2
    2×1.4589130611866-π/2
    2.9178261223732-1.57079632675     		φ = 1.34702980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79019185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34702980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.179122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20505 KachelY 4983 0.79019185 1.34702980 45.274658 77.179122
    Oben rechts KachelX + 1 20506 KachelY 4983 0.79038360 1.34702980 45.285644 77.179122
    Unten links KachelX 20505 KachelY + 1 4984 0.79019185 1.34698724 45.274658 77.176684
    Unten rechts KachelX + 1 20506 KachelY + 1 4984 0.79038360 1.34698724 45.285644 77.176684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34702980-1.34698724) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34702980-1.34698724) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79019185-0.79038360) × cos(1.34702980) × R
    0.000191749999999935 × 0.221903810301827 × 6371000     		do = 271.086404389174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79019185-0.79038360) × cos(1.34698724) × R
    0.000191749999999935 × 0.221945309018804 × 6371000     		du = 271.137100850659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34702980)-sin(1.34698724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221903810301827-0.221945309018804)×R²
    abs(0.79038360-0.79019185)×4.14987169775616e-05×R²
    0.000191749999999935×4.14987169775616e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.14987169775616e-05×40589641000000     		ar = 73511.886667389m²