Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20502 / 4984
↖ ↑ ↗
← N 77.176684°
E 45.241699°		 ← 271.14 m → N 77.176684°
E 45.252686°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 77.174245°
E 45.241699°		 ← 271.19 m →
73 526 m²		 N 77.174245°
E 45.252686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625686645507812 y=0.152114868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625686645507812 × 215)
    floor (0.625686645507812 × 32768)
    floor (20502.5)     		tx = 20502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152114868164062 × 215)
    floor (0.152114868164062 × 32768)
    floor (4984.5)     		ty = 4984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20502 / 4984 ti = "15/20502/4984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20502/4984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20502 ÷ 215
    20502 ÷ 32768     		x = 0.62567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4984 ÷ 215
    4984 ÷ 32768     		y = 0.152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62567138671875 × 2 - 1) × π
    0.2513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78961661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152099609375 × 2 - 1) × π
    0.69580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78961661} λ = 0.78961661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18592262267456))-π/2
    2×atan(8.8988550524872)-π/2
    2×1.45889178443587-π/2
    2.91778356887174-1.57079632675     		φ = 1.34698724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78961661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34698724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.176684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20502 KachelY 4984 0.78961661 1.34698724 45.241699 77.176684
    Oben rechts KachelX + 1 20503 KachelY 4984 0.78980836 1.34698724 45.252686 77.176684
    Unten links KachelX 20502 KachelY + 1 4985 0.78961661 1.34694468 45.241699 77.174245
    Unten rechts KachelX + 1 20503 KachelY + 1 4985 0.78980836 1.34694468 45.252686 77.174245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34698724-1.34694468) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34698724-1.34694468) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78961661-0.78980836) × cos(1.34698724) × R
    0.000191749999999935 × 0.221945309018804 × 6371000     		do = 271.137100850659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78961661-0.78980836) × cos(1.34694468) × R
    0.000191749999999935 × 0.221986807333761 × 6371000     		du = 271.187796821018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34698724)-sin(1.34694468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221945309018804-0.221986807333761)×R²
    abs(0.78980836-0.78961661)×4.14983149561454e-05×R²
    0.000191749999999935×4.14983149561454e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.14983149561454e-05×40589641000000     		ar = 73525.6329335531m²