Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2050 / 1006
↖ ↑ ↗
← N 67.135829°
E  0.175781°		 ← 3 797.27 m → N 67.135829°
E  0.263672°		 →
↑
3 799.98 m
↓
↑
3 799.98 m
↓
N 67.101655°
E  0.175781°		 ← 3 802.64 m →
14 439 775 m²		 N 67.101655°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5006103515625 y=0.2457275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5006103515625 × 212)
    floor (0.5006103515625 × 4096)
    floor (2050.5)     		tx = 2050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2457275390625 × 212)
    floor (0.2457275390625 × 4096)
    floor (1006.5)     		ty = 1006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2050 / 1006 ti = "12/2050/1006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2050/1006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2050 ÷ 212
    2050 ÷ 4096     		x = 0.50048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1006 ÷ 212
    1006 ÷ 4096     		y = 0.24560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24560546875 × 2 - 1) × π
    0.5087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59840798093115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00306796} λ = 0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59840798093115))-π/2
    2×atan(4.94515337578881)-π/2
    2×1.37126879780407-π/2
    2.74253759560813-1.57079632675     		φ = 1.17174127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17174127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.135829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2050 KachelY 1006 0.00306796 1.17174127 0.175781 67.135829
    Oben rechts KachelX + 1 2051 KachelY 1006 0.00460194 1.17174127 0.263672 67.135829
    Unten links KachelX 2050 KachelY + 1 1007 0.00306796 1.17114482 0.175781 67.101655
    Unten rechts KachelX + 1 2051 KachelY + 1 1007 0.00460194 1.17114482 0.263672 67.101655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17174127-1.17114482) × R
    0.000596449999999971 × 6371000     		dl = 3799.98294999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17174127-1.17114482) × R
    0.000596449999999971 × 6371000     		dr = 3799.98294999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00306796-0.00460194) × cos(1.17174127) × R
    0.00153398 × 0.388547818251162 × 6371000     		do = 3797.27261345689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00306796-0.00460194) × cos(1.17114482) × R
    0.00153398 × 0.389097335170307 × 6371000     		du = 3802.64303493317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17174127)-sin(1.17114482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388547818251162-0.389097335170307)×R²
    abs(0.00460194-0.00306796)×0.000549516919145066×R²
    0.00153398×0.000549516919145066×6371000²
    0.00153398×0.000549516919145066×40589641000000     		ar = 14439775.3707407m²