Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 205 / 43
↖ ↑ ↗
← N 81.621352°
W 35.859375°		 ← 11.393 km → N 81.621352°
W 35.156250°		 →
↑
11.462 km
↓
↑
11.462 km
↓
N 81.518272°
W 35.859375°		 ← 11.532 km →
131.378 km²		 N 81.518272°
W 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4013671875 y=0.0849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4013671875 × 29)
    floor (0.4013671875 × 512)
    floor (205.5)     		tx = 205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0849609375 × 29)
    floor (0.0849609375 × 512)
    floor (43.5)     		ty = 43
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 205 / 43 ti = "9/205/43"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/205/43.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 205 ÷ 29
    205 ÷ 512     		x = 0.400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43 ÷ 29
    43 ÷ 512     		y = 0.083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.400390625 × 2 - 1) × π
    -0.19921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62586416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083984375 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62586416} λ = -0.62586416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61390326248242))-π/2
    2×atan(13.6522352456179)-π/2
    2×1.4976788269634-π/2
    2.9953576539268-1.57079632675     		φ = 1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62586416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 205 KachelY 43 -0.62586416 1.42456133 -35.859375 81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 206 KachelY 43 -0.61359232 1.42456133 -35.156250 81.621352
    Unten links KachelX 205 KachelY + 1 44 -0.62586416 1.42276224 -35.859375 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 206 KachelY + 1 44 -0.61359232 1.42276224 -35.156250 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42456133-1.42276224) × R
    0.00179909 × 6371000     		dl = 11462.00239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42456133-1.42276224) × R
    0.00179909 × 6371000     		dr = 11462.00239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62586416--0.61359232) × cos(1.42456133) × R
    0.01227184 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 11392.5155523991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62586416--0.61359232) × cos(1.42276224) × R
    0.01227184 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 11531.6555951575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42456133)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.147494006831501)×R²
    abs(-0.61359232--0.62586416)×0.0017796510004833×R²
    0.01227184×0.0017796510004833×6371000²
    0.01227184×0.0017796510004833×40589641000000     		ar = 131378487.677389m²