Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20499 / 4998
↖ ↑ ↗
← N 77.142502°
E 45.208740°		 ← 271.85 m → N 77.142502°
E 45.219727°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 77.140057°
E 45.208740°		 ← 271.90 m →
73 926 m²		 N 77.140057°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625595092773438 y=0.152542114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625595092773438 × 215)
    floor (0.625595092773438 × 32768)
    floor (20499.5)     		tx = 20499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152542114257812 × 215)
    floor (0.152542114257812 × 32768)
    floor (4998.5)     		ty = 4998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20499 / 4998 ti = "15/20499/4998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20499/4998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20499 ÷ 215
    20499 ÷ 32768     		x = 0.625579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4998 ÷ 215
    4998 ÷ 32768     		y = 0.15252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625579833984375 × 2 - 1) × π
    0.25115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78904137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15252685546875 × 2 - 1) × π
    0.6949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18323815629584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78904137} λ = 0.78904137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18323815629584))-π/2
    2×atan(8.87499841079257)-π/2
    2×1.45859349187418-π/2
    2.91718698374835-1.57079632675     		φ = 1.34639066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78904137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.208740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34639066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.142502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20499 KachelY 4998 0.78904137 1.34639066 45.208740 77.142502
    Oben rechts KachelX + 1 20500 KachelY 4998 0.78923312 1.34639066 45.219727 77.142502
    Unten links KachelX 20499 KachelY + 1 4999 0.78904137 1.34634798 45.208740 77.140057
    Unten rechts KachelX + 1 20500 KachelY + 1 4999 0.78923312 1.34634798 45.219727 77.140057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34639066-1.34634798) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34639066-1.34634798) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78904137-0.78923312) × cos(1.34639066) × R
    0.000191750000000046 × 0.222526970255735 × 6371000     		do = 271.847681048054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78904137-0.78923312) × cos(1.34634798) × R
    0.000191750000000046 × 0.222568579917536 × 6371000     		du = 271.898513044089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34639066)-sin(1.34634798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222526970255735-0.222568579917536)×R²
    abs(0.78923312-0.78904137)×4.16096618006123e-05×R²
    0.000191750000000046×4.16096618006123e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.16096618006123e-05×40589641000000     		ar = 73926.1774461894m²