Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20496 / 4146
↖ ↑ ↗
← N 79.067646°
E 45.175781°		 ← 231.68 m → N 79.067646°
E 45.186767°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
N 79.065562°
E 45.175781°		 ← 231.73 m →
53 689 m²		 N 79.065562°
E 45.186767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625503540039062 y=0.126541137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625503540039062 × 215)
    floor (0.625503540039062 × 32768)
    floor (20496.5)     		tx = 20496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126541137695312 × 215)
    floor (0.126541137695312 × 32768)
    floor (4146.5)     		ty = 4146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20496 / 4146 ti = "15/20496/4146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20496/4146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20496 ÷ 215
    20496 ÷ 32768     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4146 ÷ 215
    4146 ÷ 32768     		y = 0.12652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12652587890625 × 2 - 1) × π
    0.7469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34660711020099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34660711020099))-π/2
    2×atan(10.4500536273449)-π/2
    2×1.47539353790286-π/2
    2.95078707580573-1.57079632675     		φ = 1.37999075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37999075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.067646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20496 KachelY 4146 0.78846612 1.37999075 45.175781 79.067646
    Oben rechts KachelX + 1 20497 KachelY 4146 0.78865787 1.37999075 45.186767 79.067646
    Unten links KachelX 20496 KachelY + 1 4147 0.78846612 1.37995438 45.175781 79.065562
    Unten rechts KachelX + 1 20497 KachelY + 1 4147 0.78865787 1.37995438 45.186767 79.065562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37999075-1.37995438) × R
    3.63699999998968e-05 × 6371000     		dl = 231.713269999342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37999075-1.37995438) × R
    3.63699999998968e-05 × 6371000     		dr = 231.713269999342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(1.37999075) × R
    0.000191749999999935 × 0.189649913434877 × 6371000     		do = 231.68377801107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(1.37995438) × R
    0.000191749999999935 × 0.189685623258536 × 6371000     		du = 231.727402533261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37999075)-sin(1.37995438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189649913434877-0.189685623258536)×R²
    abs(0.78865787-0.78846612)×3.57098236584419e-05×R²
    0.000191749999999935×3.57098236584419e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.57098236584419e-05×40589641000000     		ar = 53689.2600048952m²