Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20496 / 12272
↖ ↑ ↗
← N 81.100015°
W123.706055°		 ← 47.25 m → N 81.100015°
W123.703308°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.099590°
W123.706055°		 ← 47.25 m →
2 234 m²		 N 81.099590°
W123.703308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156375885009766 y=0.0936317443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156375885009766 × 217)
    floor (0.156375885009766 × 131072)
    floor (20496.5)     		tx = 20496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936317443847656 × 217)
    floor (0.0936317443847656 × 131072)
    floor (12272.5)     		ty = 12272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20496 / 12272 ti = "17/20496/12272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20496/12272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20496 ÷ 217
    20496 ÷ 131072     		x = 0.1563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12272 ÷ 217
    12272 ÷ 131072     		y = 0.0936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15907796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0936279296875 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55331102136267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15907796} λ = -2.15907796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55331102136267))-π/2
    2×atan(12.8495786556835)-π/2
    2×1.4931293078418-π/2
    2.9862586156836-1.57079632675     		φ = 1.41546229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15907796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41546229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.100015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20496 KachelY 12272 -2.15907796 1.41546229 -123.706055 81.100015
    Oben rechts KachelX + 1 20497 KachelY 12272 -2.15903002 1.41546229 -123.703308 81.100015
    Unten links KachelX 20496 KachelY + 1 12273 -2.15907796 1.41545487 -123.706055 81.099590
    Unten rechts KachelX + 1 20497 KachelY + 1 12273 -2.15903002 1.41545487 -123.703308 81.099590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41546229-1.41545487) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41546229-1.41545487) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15907796--2.15903002) × cos(1.41546229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154710122877156 × 6371000     		do = 47.2524537652154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15907796--2.15903002) × cos(1.41545487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154717453535407 × 6371000     		du = 47.2546927369364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41546229)-sin(1.41545487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154710122877156-0.154717453535407)×R²
    abs(-2.15903002--2.15907796)×7.33065825109236e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.33065825109236e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.33065825109236e-06×40589641000000     		ar = 2233.80966259078m²