Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20493 / 12268
↖ ↑ ↗
← N 81.101715°
W123.714294°		 ← 47.24 m → N 81.101715°
W123.711548°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
N 81.101290°
W123.714294°		 ← 47.25 m →
2 230 m²		 N 81.101290°
W123.711548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156352996826172 y=0.0936012268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156352996826172 × 217)
    floor (0.156352996826172 × 131072)
    floor (20493.5)     		tx = 20493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936012268066406 × 217)
    floor (0.0936012268066406 × 131072)
    floor (12268.5)     		ty = 12268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20493 / 12268 ti = "17/20493/12268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20493/12268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20493 ÷ 217
    20493 ÷ 131072     		x = 0.156349182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12268 ÷ 217
    12268 ÷ 131072     		y = 0.093597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156349182128906 × 2 - 1) × π
    -0.687301635742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.15922177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093597412109375 × 2 - 1) × π
    0.81280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55350276896115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15922177} λ = -2.15922177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55350276896115))-π/2
    2×atan(12.8520427677685)-π/2
    2×1.49314413908431-π/2
    2.98628827816862-1.57079632675     		φ = 1.41549195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15922177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.714294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41549195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.101715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20493 KachelY 12268 -2.15922177 1.41549195 -123.714294 81.101715
    Oben rechts KachelX + 1 20494 KachelY 12268 -2.15917383 1.41549195 -123.711548 81.101715
    Unten links KachelX 20493 KachelY + 1 12269 -2.15922177 1.41548454 -123.714294 81.101290
    Unten rechts KachelX + 1 20494 KachelY + 1 12269 -2.15917383 1.41548454 -123.711548 81.101290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41549195-1.41548454) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41549195-1.41548454) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15922177--2.15917383) × cos(1.41549195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154680819918268 × 6371000     		do = 47.2435038873127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15922177--2.15917383) × cos(1.41548454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154688140730931 × 6371000     		du = 47.2457398519378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41549195)-sin(1.41548454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154680819918268-0.154688140730931)×R²
    abs(-2.15917383--2.15922177)×7.32081266344164e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32081266344164e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32081266344164e-06×40589641000000     		ar = 2230.37655074787m²