Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20492 / 4937
↖ ↑ ↗
← N 77.290785°
E 45.131836°		 ← 268.76 m → N 77.290785°
E 45.142822°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 77.288368°
E 45.131836°		 ← 268.81 m →
72 249 m²		 N 77.288368°
E 45.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625381469726562 y=0.150680541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625381469726562 × 215)
    floor (0.625381469726562 × 32768)
    floor (20492.5)     		tx = 20492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150680541992188 × 215)
    floor (0.150680541992188 × 32768)
    floor (4937.5)     		ty = 4937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20492 / 4937 ti = "15/20492/4937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20492/4937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20492 ÷ 215
    20492 ÷ 32768     		x = 0.6253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4937 ÷ 215
    4937 ÷ 32768     		y = 0.150665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6253662109375 × 2 - 1) × π
    0.250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78769913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150665283203125 × 2 - 1) × π
    0.69866943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19493475980313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78769913} λ = 0.78769913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19493475980313))-π/2
    2×atan(8.97941521889284)-π/2
    2×1.45988750326383-π/2
    2.91977500652766-1.57079632675     		φ = 1.34897868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78769913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34897868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.290785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20492 KachelY 4937 0.78769913 1.34897868 45.131836 77.290785
    Oben rechts KachelX + 1 20493 KachelY 4937 0.78789088 1.34897868 45.142822 77.290785
    Unten links KachelX 20492 KachelY + 1 4938 0.78769913 1.34893649 45.131836 77.288368
    Unten rechts KachelX + 1 20493 KachelY + 1 4938 0.78789088 1.34893649 45.142822 77.288368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34897868-1.34893649) × R
    4.2190000000053e-05 × 6371000     		dl = 268.792490000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34897868-1.34893649) × R
    4.2190000000053e-05 × 6371000     		dr = 268.792490000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78769913-0.78789088) × cos(1.34897868) × R
    0.000191749999999935 × 0.220003098477282 × 6371000     		do = 268.764420221372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78769913-0.78789088) × cos(1.34893649) × R
    0.000191749999999935 × 0.220044254591579 × 6371000     		du = 268.814698145975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34897868)-sin(1.34893649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220003098477282-0.220044254591579)×R²
    abs(0.78789088-0.78769913)×4.1156114297336e-05×R²
    0.000191749999999935×4.1156114297336e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.1156114297336e-05×40589641000000     		ar = 72248.6149102388m²