Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20492 / 12267
↖ ↑ ↗
← N 81.102140°
W123.717041°		 ← 47.24 m → N 81.102140°
W123.714294°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.101715°
W123.717041°		 ← 47.24 m →
2 233 m²		 N 81.101715°
W123.714294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156345367431641 y=0.0935935974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156345367431641 × 217)
    floor (0.156345367431641 × 131072)
    floor (20492.5)     		tx = 20492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935935974121094 × 217)
    floor (0.0935935974121094 × 131072)
    floor (12267.5)     		ty = 12267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20492 / 12267 ti = "17/20492/12267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20492/12267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20492 ÷ 217
    20492 ÷ 131072     		x = 0.156341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12267 ÷ 217
    12267 ÷ 131072     		y = 0.0935897827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.68731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15926971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0935897827148438 × 2 - 1) × π
    0.812820434570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.55355070586077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15926971} λ = -2.15926971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55355070586077))-π/2
    2×atan(12.8526588696194)-π/2
    2×1.49314784645596-π/2
    2.98629569291191-1.57079632675     		φ = 1.41549937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15926971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41549937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.102140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20492 KachelY 12267 -2.15926971 1.41549937 -123.717041 81.102140
    Oben rechts KachelX + 1 20493 KachelY 12267 -2.15922177 1.41549937 -123.714294 81.102140
    Unten links KachelX 20492 KachelY + 1 12268 -2.15926971 1.41549195 -123.717041 81.101715
    Unten rechts KachelX + 1 20493 KachelY + 1 12268 -2.15922177 1.41549195 -123.714294 81.101715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41549937-1.41549195) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41549937-1.41549195) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15926971--2.15922177) × cos(1.41549937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154673489217455 × 6371000     		do = 47.2412649025921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15926971--2.15922177) × cos(1.41549195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154680819918268 × 6371000     		du = 47.2435038873127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41549937)-sin(1.41549195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154673489217455-0.154680819918268)×R²
    abs(-2.15922177--2.15926971)×7.33070081304632e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.33070081304632e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.33070081304632e-06×40589641000000     		ar = 2233.28073387117m²