Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20488 / 4934
↖ ↑ ↗
← N 77.298034°
E 45.087890°		 ← 268.61 m → N 77.298034°
E 45.098877°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
N 77.295618°
E 45.087890°		 ← 268.66 m →
72 174 m²		 N 77.295618°
E 45.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625259399414062 y=0.150588989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625259399414062 × 215)
    floor (0.625259399414062 × 32768)
    floor (20488.5)     		tx = 20488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150588989257812 × 215)
    floor (0.150588989257812 × 32768)
    floor (4934.5)     		ty = 4934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20488 / 4934 ti = "15/20488/4934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20488/4934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20488 ÷ 215
    20488 ÷ 32768     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4934 ÷ 215
    4934 ÷ 32768     		y = 0.15057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15057373046875 × 2 - 1) × π
    0.6988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19551000259857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19551000259857))-π/2
    2×atan(8.98458204875313)-π/2
    2×1.45995076311167-π/2
    2.91990152622334-1.57079632675     		φ = 1.34910520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34910520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.298034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20488 KachelY 4934 0.78693214 1.34910520 45.087890 77.298034
    Oben rechts KachelX + 1 20489 KachelY 4934 0.78712389 1.34910520 45.098877 77.298034
    Unten links KachelX 20488 KachelY + 1 4935 0.78693214 1.34906303 45.087890 77.295618
    Unten rechts KachelX + 1 20489 KachelY + 1 4935 0.78712389 1.34906303 45.098877 77.295618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34910520-1.34906303) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dl = 268.665069999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34910520-1.34906303) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dr = 268.665069999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78712389) × cos(1.34910520) × R
    0.000191750000000046 × 0.219879676561406 × 6371000     		do = 268.613643164783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78712389) × cos(1.34906303) × R
    0.000191750000000046 × 0.219920814339479 × 6371000     		du = 268.663898689134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34910520)-sin(1.34906303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219879676561406-0.219920814339479)×R²
    abs(0.78712389-0.78693214)×4.11377780730471e-05×R²
    0.000191750000000046×4.11377780730471e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.11377780730471e-05×40589641000000     		ar = 72173.8542061744m²