Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20487 / 12302
↖ ↑ ↗
← N 81.087258°
W123.730774°		 ← 47.32 m → N 81.087258°
W123.728027°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.086833°
W123.730774°		 ← 47.32 m →
2 240 m²		 N 81.086833°
W123.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156307220458984 y=0.0938606262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156307220458984 × 217)
    floor (0.156307220458984 × 131072)
    floor (20487.5)     		tx = 20487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0938606262207031 × 217)
    floor (0.0938606262207031 × 131072)
    floor (12302.5)     		ty = 12302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20487 / 12302 ti = "17/20487/12302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20487/12302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20487 ÷ 217
    20487 ÷ 131072     		x = 0.156303405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12302 ÷ 217
    12302 ÷ 131072     		y = 0.0938568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156303405761719 × 2 - 1) × π
    -0.687393188476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.15950939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0938568115234375 × 2 - 1) × π
    0.812286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55187291437407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15950939} λ = -2.15950939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55187291437407))-π/2
    2×atan(12.8311128678899)-π/2
    2×1.49301798392213-π/2
    2.98603596784425-1.57079632675     		φ = 1.41523964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15950939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.730774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41523964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.087258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20487 KachelY 12302 -2.15950939 1.41523964 -123.730774 81.087258
    Oben rechts KachelX + 1 20488 KachelY 12302 -2.15946145 1.41523964 -123.728027 81.087258
    Unten links KachelX 20487 KachelY + 1 12303 -2.15950939 1.41523221 -123.730774 81.086833
    Unten rechts KachelX + 1 20488 KachelY + 1 12303 -2.15946145 1.41523221 -123.728027 81.086833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41523964-1.41523221) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41523964-1.41523221) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15950939--2.15946145) × cos(1.41523964) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.154930088313913 × 6371000     		do = 47.3196368719494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15950939--2.15946145) × cos(1.41523221) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.154937428595628 × 6371000     		du = 47.3218787829241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41523964)-sin(1.41523221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154930088313913-0.154937428595628)×R²
    abs(-2.15946145--2.15950939)×7.34028171528456e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.34028171528456e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.34028171528456e-06×40589641000000     		ar = 2240.00047267198m²