Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20486 / 36837
↖ ↑ ↗
← N 61.641640°
W123.733521°		 ← 145.07 m → N 61.641640°
W123.730774°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
N 61.640336°
W123.733521°		 ← 145.08 m →
21 046 m²		 N 61.640336°
W123.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156299591064453 y=0.281047821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156299591064453 × 217)
    floor (0.156299591064453 × 131072)
    floor (20486.5)     		tx = 20486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281047821044922 × 217)
    floor (0.281047821044922 × 131072)
    floor (36837.5)     		ty = 36837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20486 / 36837 ti = "17/20486/36837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20486/36837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20486 ÷ 217
    20486 ÷ 131072     		x = 0.156295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36837 ÷ 217
    36837 ÷ 131072     		y = 0.281044006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.687408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15955733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281044006347656 × 2 - 1) × π
    0.437911987304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.37574108219599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15955733} λ = -2.15955733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37574108219599))-π/2
    2×atan(3.9580088462017)-π/2
    2×1.32332295249814-π/2
    2.64664590499629-1.57079632675     		φ = 1.07584958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15955733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.733521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07584958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.641640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20486 KachelY 36837 -2.15955733 1.07584958 -123.733521 61.641640
    Oben rechts KachelX + 1 20487 KachelY 36837 -2.15950939 1.07584958 -123.730774 61.641640
    Unten links KachelX 20486 KachelY + 1 36838 -2.15955733 1.07582681 -123.733521 61.640336
    Unten rechts KachelX + 1 20487 KachelY + 1 36838 -2.15950939 1.07582681 -123.730774 61.640336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07584958-1.07582681) × R
    2.27700000001718e-05 × 6371000     		dl = 145.067670001095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07584958-1.07582681) × R
    2.27700000001718e-05 × 6371000     		dr = 145.067670001095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15955733--2.15950939) × cos(1.07584958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474984789443211 × 6371000     		do = 145.072580804342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15955733--2.15950939) × cos(1.07582681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475004826783583 × 6371000     		du = 145.078700723852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07584958)-sin(1.07582681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474984789443211-0.475004826783583)×R²
    abs(-2.15950939--2.15955733)×2.0037340371315e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0037340371315e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0037340371315e-05×40589641000000     		ar = 21045.7851804734m²