Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20486 / 28689
↖ ↑ ↗
← N 70.597109°
W123.733521°		 ← 101.47 m → N 70.597109°
W123.730774°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
N 70.596196°
W123.733521°		 ← 101.47 m →
10 298 m²		 N 70.596196°
W123.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156299591064453 y=0.218883514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156299591064453 × 217)
    floor (0.156299591064453 × 131072)
    floor (20486.5)     		tx = 20486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218883514404297 × 217)
    floor (0.218883514404297 × 131072)
    floor (28689.5)     		ty = 28689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20486 / 28689 ti = "17/20486/28689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20486/28689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20486 ÷ 217
    20486 ÷ 131072     		x = 0.156295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28689 ÷ 217
    28689 ÷ 131072     		y = 0.218879699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.687408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15955733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218879699707031 × 2 - 1) × π
    0.562240600585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.76633094030021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15955733} λ = -2.15955733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76633094030021))-π/2
    2×atan(5.84935231833682)-π/2
    2×1.40147415836747-π/2
    2.80294831673495-1.57079632675     		φ = 1.23215199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15955733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.733521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23215199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.597109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20486 KachelY 28689 -2.15955733 1.23215199 -123.733521 70.597109
    Oben rechts KachelX + 1 20487 KachelY 28689 -2.15950939 1.23215199 -123.730774 70.597109
    Unten links KachelX 20486 KachelY + 1 28690 -2.15955733 1.23213606 -123.733521 70.596196
    Unten rechts KachelX + 1 20487 KachelY + 1 28690 -2.15950939 1.23213606 -123.730774 70.596196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23215199-1.23213606) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23215199-1.23213606) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15955733--2.15950939) × cos(1.23215199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332208728275761 × 6371000     		do = 101.465096668017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15955733--2.15950939) × cos(1.23213606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33222375350352 × 6371000     		du = 101.469685759324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23215199)-sin(1.23213606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332208728275761-0.33222375350352)×R²
    abs(-2.15950939--2.15955733)×1.50252277594798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50252277594798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50252277594798e-05×40589641000000     		ar = 10297.9285786753m²