Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20485 / 12293
↖ ↑ ↗
← N 81.091087°
W123.736267°		 ← 47.29 m → N 81.091087°
W123.733521°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.090662°
W123.736267°		 ← 47.29 m →
2 239 m²		 N 81.090662°
W123.733521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156291961669922 y=0.0937919616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156291961669922 × 217)
    floor (0.156291961669922 × 131072)
    floor (20485.5)     		tx = 20485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937919616699219 × 217)
    floor (0.0937919616699219 × 131072)
    floor (12293.5)     		ty = 12293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20485 / 12293 ti = "17/20485/12293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20485/12293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20485 ÷ 217
    20485 ÷ 131072     		x = 0.156288146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12293 ÷ 217
    12293 ÷ 131072     		y = 0.0937881469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156288146972656 × 2 - 1) × π
    -0.687423706054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.15960526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0937881469726562 × 2 - 1) × π
    0.812423706054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.55230434647065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15960526} λ = -2.15960526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55230434647065))-π/2
    2×atan(12.8366498161387)-π/2
    2×1.49305139770693-π/2
    2.98610279541386-1.57079632675     		φ = 1.41530647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15960526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.736267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41530647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.091087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20485 KachelY 12293 -2.15960526 1.41530647 -123.736267 81.091087
    Oben rechts KachelX + 1 20486 KachelY 12293 -2.15955733 1.41530647 -123.733521 81.091087
    Unten links KachelX 20485 KachelY + 1 12294 -2.15960526 1.41529904 -123.736267 81.090662
    Unten rechts KachelX + 1 20486 KachelY + 1 12294 -2.15955733 1.41529904 -123.733521 81.090662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41530647-1.41529904) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41530647-1.41529904) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15960526--2.15955733) × cos(1.41530647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154864064911074 × 6371000     		do = 47.2896052353263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15960526--2.15955733) × cos(1.41529904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154871405269705 × 6371000     		du = 47.2918467021387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41530647)-sin(1.41529904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154864064911074-0.154871405269705)×R²
    abs(-2.15955733--2.15960526)×7.34035863075855e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34035863075855e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34035863075855e-06×40589641000000     		ar = 2238.57886847468m²