Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20484 / 12308
↖ ↑ ↗
← N 81.084705°
W123.739014°		 ← 47.33 m → N 81.084705°
W123.736267°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.084279°
W123.739014°		 ← 47.34 m →
2 241 m²		 N 81.084279°
W123.736267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156284332275391 y=0.0939064025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156284332275391 × 217)
    floor (0.156284332275391 × 131072)
    floor (20484.5)     		tx = 20484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0939064025878906 × 217)
    floor (0.0939064025878906 × 131072)
    floor (12308.5)     		ty = 12308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20484 / 12308 ti = "17/20484/12308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20484/12308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20484 ÷ 217
    20484 ÷ 131072     		x = 0.156280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12308 ÷ 217
    12308 ÷ 131072     		y = 0.093902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.68743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15965320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093902587890625 × 2 - 1) × π
    0.81219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55158529297635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15965320} λ = -2.15965320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55158529297635))-π/2
    2×atan(12.8274228959554)-π/2
    2×1.49299570015221-π/2
    2.98599140030442-1.57079632675     		φ = 1.41519507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15965320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.739014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41519507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.084705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20484 KachelY 12308 -2.15965320 1.41519507 -123.739014 81.084705
    Oben rechts KachelX + 1 20485 KachelY 12308 -2.15960526 1.41519507 -123.736267 81.084705
    Unten links KachelX 20484 KachelY + 1 12309 -2.15965320 1.41518764 -123.739014 81.084279
    Unten rechts KachelX + 1 20485 KachelY + 1 12309 -2.15960526 1.41518764 -123.736267 81.084279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41519507-1.41518764) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41519507-1.41518764) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15965320--2.15960526) × cos(1.41519507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154974119996712 × 6371000     		do = 47.3330852808135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15965320--2.15960526) × cos(1.41518764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154981460227113 × 6371000     		du = 47.3353271761154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41519507)-sin(1.41518764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154974119996712-0.154981460227113)×R²
    abs(-2.15960526--2.15965320)×7.34023040088738e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34023040088738e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34023040088738e-06×40589641000000     		ar = 2240.63707305429m²