Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20479 / 4259
↖ ↑ ↗
← N 78.829682°
E 44.989014°		 ← 236.65 m → N 78.829682°
E 45.000000°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 78.827554°
E 44.989014°		 ← 236.70 m →
56 016 m²		 N 78.827554°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624984741210938 y=0.129989624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624984741210938 × 215)
    floor (0.624984741210938 × 32768)
    floor (20479.5)     		tx = 20479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129989624023438 × 215)
    floor (0.129989624023438 × 32768)
    floor (4259.5)     		ty = 4259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20479 / 4259 ti = "15/20479/4259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20479/4259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20479 ÷ 215
    20479 ÷ 32768     		x = 0.624969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4259 ÷ 215
    4259 ÷ 32768     		y = 0.129974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624969482421875 × 2 - 1) × π
    0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129974365234375 × 2 - 1) × π
    0.74005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32493963157272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78520642} λ = 0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32493963157272))-π/2
    2×atan(10.2260627358324)-π/2
    2×1.47331691506722-π/2
    2.94663383013445-1.57079632675     		φ = 1.37583750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37583750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.829682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20479 KachelY 4259 0.78520642 1.37583750 44.989014 78.829682
    Oben rechts KachelX + 1 20480 KachelY 4259 0.78539816 1.37583750 45.000000 78.829682
    Unten links KachelX 20479 KachelY + 1 4260 0.78520642 1.37580035 44.989014 78.827554
    Unten rechts KachelX + 1 20480 KachelY + 1 4260 0.78539816 1.37580035 45.000000 78.827554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37583750-1.37580035) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37583750-1.37580035) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78520642-0.78539816) × cos(1.37583750) × R
    0.000191739999999996 × 0.193726141921279 × 6371000     		do = 236.651116429598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78520642-0.78539816) × cos(1.37580035) × R
    0.000191739999999996 × 0.193762588004863 × 6371000     		du = 236.695638073833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37583750)-sin(1.37580035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193726141921279-0.193762588004863)×R²
    abs(0.78539816-0.78520642)×3.64460835839409e-05×R²
    0.000191739999999996×3.64460835839409e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.64460835839409e-05×40589641000000     		ar = 56016.4821183783m²