Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20478 / 4258
↖ ↑ ↗
← N 78.831811°
E 44.978027°		 ← 236.62 m → N 78.831811°
E 44.989014°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 78.829682°
E 44.978027°		 ← 236.66 m →
56 009 m²		 N 78.829682°
E 44.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624954223632812 y=0.129959106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624954223632812 × 215)
    floor (0.624954223632812 × 32768)
    floor (20478.5)     		tx = 20478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129959106445312 × 215)
    floor (0.129959106445312 × 32768)
    floor (4258.5)     		ty = 4258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20478 / 4258 ti = "15/20478/4258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20478/4258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20478 ÷ 215
    20478 ÷ 32768     		x = 0.62493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4258 ÷ 215
    4258 ÷ 32768     		y = 0.12994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12994384765625 × 2 - 1) × π
    0.7401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3251313791712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78501467} λ = 0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3251313791712))-π/2
    2×atan(10.2280237468074)-π/2
    2×1.4733354865813-π/2
    2.9466709731626-1.57079632675     		φ = 1.37587465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37587465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.831811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20478 KachelY 4258 0.78501467 1.37587465 44.978027 78.831811
    Oben rechts KachelX + 1 20479 KachelY 4258 0.78520642 1.37587465 44.989014 78.831811
    Unten links KachelX 20478 KachelY + 1 4259 0.78501467 1.37583750 44.978027 78.829682
    Unten rechts KachelX + 1 20479 KachelY + 1 4259 0.78520642 1.37583750 44.989014 78.829682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37587465-1.37583750) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37587465-1.37583750) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78501467-0.78520642) × cos(1.37587465) × R
    0.000191749999999935 × 0.193689695570329 × 6371000     		do = 236.618934429185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78501467-0.78520642) × cos(1.37583750) × R
    0.000191749999999935 × 0.193726141921279 × 6371000     		du = 236.663458722025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37587465)-sin(1.37583750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193689695570329-0.193726141921279)×R²
    abs(0.78520642-0.78501467)×3.6446350949737e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6446350949737e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6446350949737e-05×40589641000000     		ar = 56008.8655118603m²