Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20478 / 12286
↖ ↑ ↗
← N 81.094065°
W123.755493°		 ← 47.27 m → N 81.094065°
W123.752747°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.093639°
W123.755493°		 ← 47.28 m →
2 238 m²		 N 81.093639°
W123.752747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156238555908203 y=0.0937385559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156238555908203 × 217)
    floor (0.156238555908203 × 131072)
    floor (20478.5)     		tx = 20478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937385559082031 × 217)
    floor (0.0937385559082031 × 131072)
    floor (12286.5)     		ty = 12286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20478 / 12286 ti = "17/20478/12286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20478/12286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20478 ÷ 217
    20478 ÷ 131072     		x = 0.156234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12286 ÷ 217
    12286 ÷ 131072     		y = 0.0937347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.687530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15994082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0937347412109375 × 2 - 1) × π
    0.812530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55263990476799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15994082} λ = -2.15994082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55263990476799))-π/2
    2×atan(12.8409579832747)-π/2
    2×1.49307737636179-π/2
    2.98615475272357-1.57079632675     		φ = 1.41535843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15994082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41535843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.094065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20478 KachelY 12286 -2.15994082 1.41535843 -123.755493 81.094065
    Oben rechts KachelX + 1 20479 KachelY 12286 -2.15989289 1.41535843 -123.752747 81.094065
    Unten links KachelX 20478 KachelY + 1 12287 -2.15994082 1.41535100 -123.755493 81.093639
    Unten rechts KachelX + 1 20479 KachelY + 1 12287 -2.15989289 1.41535100 -123.752747 81.093639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41535843-1.41535100) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41535843-1.41535100) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15994082--2.15989289) × cos(1.41535843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154812731558494 × 6371000     		do = 47.2739299785756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15994082--2.15989289) × cos(1.41535100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154820071976903 × 6371000     		du = 47.2761714636422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41535843)-sin(1.41535100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154812731558494-0.154820071976903)×R²
    abs(-2.15989289--2.15994082)×7.34041840955157e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34041840955157e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34041840955157e-06×40589641000000     		ar = 2237.8368566737m²