Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20477 / 4085
↖ ↑ ↗
← N 79.194016°
E 44.967041°		 ← 229.04 m → N 79.194016°
E 44.978027°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
N 79.191956°
E 44.967041°		 ← 229.08 m →
52 463 m²		 N 79.191956°
E 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624923706054688 y=0.124679565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624923706054688 × 215)
    floor (0.624923706054688 × 32768)
    floor (20477.5)     		tx = 20477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124679565429688 × 215)
    floor (0.124679565429688 × 32768)
    floor (4085.5)     		ty = 4085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20477 / 4085 ti = "15/20477/4085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20477/4085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20477 ÷ 215
    20477 ÷ 32768     		x = 0.624908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4085 ÷ 215
    4085 ÷ 32768     		y = 0.124664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624908447265625 × 2 - 1) × π
    0.24981689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78482292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124664306640625 × 2 - 1) × π
    0.75067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35830371370828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78482292} λ = 0.78482292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35830371370828))-π/2
    2×atan(10.5730013951909)-π/2
    2×1.4764963224363-π/2
    2.9529926448726-1.57079632675     		φ = 1.38219632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78482292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38219632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.194016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20477 KachelY 4085 0.78482292 1.38219632 44.967041 79.194016
    Oben rechts KachelX + 1 20478 KachelY 4085 0.78501467 1.38219632 44.978027 79.194016
    Unten links KachelX 20477 KachelY + 1 4086 0.78482292 1.38216037 44.967041 79.191956
    Unten rechts KachelX + 1 20478 KachelY + 1 4086 0.78501467 1.38216037 44.978027 79.191956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38219632-1.38216037) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dl = 229.037450000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38219632-1.38216037) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dr = 229.037450000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78482292-0.78501467) × cos(1.38219632) × R
    0.000191750000000046 × 0.18748391108916 × 6371000     		do = 229.037704530083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78482292-0.78501467) × cos(1.38216037) × R
    0.000191750000000046 × 0.187519223490875 × 6371000     		du = 229.08084354603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38219632)-sin(1.38216037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18748391108916-0.187519223490875)×R²
    abs(0.78501467-0.78482292)×3.53124017148376e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53124017148376e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53124017148376e-05×40589641000000     		ar = 52463.1520298773m²