Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20476 / 4994
↖ ↑ ↗
← N 77.152278°
E 44.956055°		 ← 271.64 m → N 77.152278°
E 44.967041°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 77.149835°
E 44.956055°		 ← 271.70 m →
73 802 m²		 N 77.149835°
E 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624893188476562 y=0.152420043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624893188476562 × 215)
    floor (0.624893188476562 × 32768)
    floor (20476.5)     		tx = 20476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152420043945312 × 215)
    floor (0.152420043945312 × 32768)
    floor (4994.5)     		ty = 4994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20476 / 4994 ti = "15/20476/4994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20476/4994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20476 ÷ 215
    20476 ÷ 32768     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4994 ÷ 215
    4994 ÷ 32768     		y = 0.15240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15240478515625 × 2 - 1) × π
    0.6951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18400514668976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18400514668976))-π/2
    2×atan(8.88180806045382)-π/2
    2×1.45867879800099-π/2
    2.91735759600198-1.57079632675     		φ = 1.34656127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34656127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.152278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20476 KachelY 4994 0.78463117 1.34656127 44.956055 77.152278
    Oben rechts KachelX + 1 20477 KachelY 4994 0.78482292 1.34656127 44.967041 77.152278
    Unten links KachelX 20476 KachelY + 1 4995 0.78463117 1.34651863 44.956055 77.149835
    Unten rechts KachelX + 1 20477 KachelY + 1 4995 0.78482292 1.34651863 44.967041 77.149835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34656127-1.34651863) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34656127-1.34651863) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78482292) × cos(1.34656127) × R
    0.000191749999999935 × 0.222360634801873 × 6371000     		do = 271.644479128793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78482292) × cos(1.34651863) × R
    0.000191749999999935 × 0.22240220708538 × 6371000     		du = 271.695265462036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34656127)-sin(1.34651863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222360634801873-0.22240220708538)×R²
    abs(0.78482292-0.78463117)×4.15722835067078e-05×R²
    0.000191749999999935×4.15722835067078e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.15722835067078e-05×40589641000000     		ar = 73801.6853840454m²