Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20475 / 4932
↖ ↑ ↗
← N 77.302865°
E 44.945069°		 ← 268.50 m → N 77.302865°
E 44.956055°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
N 77.300450°
E 44.945069°		 ← 268.55 m →
72 109 m²		 N 77.300450°
E 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624862670898438 y=0.150527954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624862670898438 × 215)
    floor (0.624862670898438 × 32768)
    floor (20475.5)     		tx = 20475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150527954101562 × 215)
    floor (0.150527954101562 × 32768)
    floor (4932.5)     		ty = 4932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20475 / 4932 ti = "15/20475/4932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20475/4932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20475 ÷ 215
    20475 ÷ 32768     		x = 0.624847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4932 ÷ 215
    4932 ÷ 32768     		y = 0.1505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624847412109375 × 2 - 1) × π
    0.24969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78443943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1505126953125 × 2 - 1) × π
    0.698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19589349779553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78443943} λ = 0.78443943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19589349779553))-π/2
    2×atan(8.98802825357478)-π/2
    2×1.45999291662615-π/2
    2.91998583325229-1.57079632675     		φ = 1.34918951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78443943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.945069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34918951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.302865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20475 KachelY 4932 0.78443943 1.34918951 44.945069 77.302865
    Oben rechts KachelX + 1 20476 KachelY 4932 0.78463117 1.34918951 44.956055 77.302865
    Unten links KachelX 20475 KachelY + 1 4933 0.78443943 1.34914736 44.945069 77.300450
    Unten rechts KachelX + 1 20476 KachelY + 1 4933 0.78463117 1.34914736 44.956055 77.300450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34918951-1.34914736) × R
    4.21500000000741e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34918951-1.34914736) × R
    4.21500000000741e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78443943-0.78463117) × cos(1.34918951) × R
    0.000191739999999996 × 0.219797429098657 × 6371000     		do = 268.499163141797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78443943-0.78463117) × cos(1.34914736) × R
    0.000191739999999996 × 0.219838548147681 × 6371000     		du = 268.549393166314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34918951)-sin(1.34914736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219797429098657-0.219838548147681)×R²
    abs(0.78463117-0.78443943)×4.11190490245683e-05×R²
    0.000191739999999996×4.11190490245683e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.11190490245683e-05×40589641000000     		ar = 72108.878634395m²