Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20475 / 12284
↖ ↑ ↗
← N 81.094915°
W123.763733°		 ← 47.27 m → N 81.094915°
W123.760987°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.094490°
W123.763733°		 ← 47.27 m →
2 235 m²		 N 81.094490°
W123.760987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156215667724609 y=0.0937232971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156215667724609 × 217)
    floor (0.156215667724609 × 131072)
    floor (20475.5)     		tx = 20475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937232971191406 × 217)
    floor (0.0937232971191406 × 131072)
    floor (12284.5)     		ty = 12284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20475 / 12284 ti = "17/20475/12284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20475/12284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20475 ÷ 217
    20475 ÷ 131072     		x = 0.156211853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12284 ÷ 217
    12284 ÷ 131072     		y = 0.093719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156211853027344 × 2 - 1) × π
    -0.687576293945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.16008463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093719482421875 × 2 - 1) × π
    0.81256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55273577856723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16008463} λ = -2.16008463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55273577856723))-π/2
    2×atan(12.84218915372)-π/2
    2×1.4930847972529-π/2
    2.9861695945058-1.57079632675     		φ = 1.41537327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16008463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.763733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41537327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.094915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20475 KachelY 12284 -2.16008463 1.41537327 -123.763733 81.094915
    Oben rechts KachelX + 1 20476 KachelY 12284 -2.16003670 1.41537327 -123.760987 81.094915
    Unten links KachelX 20475 KachelY + 1 12285 -2.16008463 1.41536585 -123.763733 81.094490
    Unten rechts KachelX + 1 20476 KachelY + 1 12285 -2.16003670 1.41536585 -123.760987 81.094490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41537327-1.41536585) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41537327-1.41536585) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16008463--2.16003670) × cos(1.41537327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154798070454958 × 6371000     		do = 47.269453034238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16008463--2.16003670) × cos(1.41536585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154805401010987 × 6371000     		du = 47.2716915077081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41537327)-sin(1.41536585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154798070454958-0.154805401010987)×R²
    abs(-2.16003670--2.16008463)×7.3305560292225e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.3305560292225e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.3305560292225e-06×40589641000000     		ar = 2234.61325422993m²