Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20474 / 77818
↖ ↑ ↗
← S 31.938178°
W123.766479°		 ← 259.19 m → S 31.938178°
W123.763733°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
S 31.940509°
W123.766479°		 ← 259.18 m →
67 174 m²		 S 31.940509°
W123.763733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156208038330078 y=0.593708038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156208038330078 × 217)
    floor (0.156208038330078 × 131072)
    floor (20474.5)     		tx = 20474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593708038330078 × 217)
    floor (0.593708038330078 × 131072)
    floor (77818.5)     		ty = 77818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20474 / 77818 ti = "17/20474/77818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20474/77818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20474 ÷ 217
    20474 ÷ 131072     		x = 0.156204223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77818 ÷ 217
    77818 ÷ 131072     		y = 0.593704223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156204223632812 × 2 - 1) × π
    -0.687591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16013257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593704223632812 × 2 - 1) × π
    -0.187408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.58876100113353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16013257} λ = -2.16013257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58876100113353))-π/2
    2×atan(0.555014521266673)-π/2
    2×0.506684977572998-π/2
    1.013369955146-1.57079632675     		φ = -0.55742637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16013257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.766479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55742637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.938178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20474 KachelY 77818 -2.16013257 -0.55742637 -123.766479 -31.938178
    Oben rechts KachelX + 1 20475 KachelY 77818 -2.16008463 -0.55742637 -123.763733 -31.938178
    Unten links KachelX 20474 KachelY + 1 77819 -2.16013257 -0.55746705 -123.766479 -31.940509
    Unten rechts KachelX + 1 20475 KachelY + 1 77819 -2.16008463 -0.55746705 -123.763733 -31.940509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55742637--0.55746705) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55742637--0.55746705) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16013257--2.16008463) × cos(-0.55742637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848619380313014 × 6371000     		do = 259.190202210274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16013257--2.16008463) × cos(-0.55746705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848597859731381 × 6371000     		du = 259.183629270703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55742637)-sin(-0.55746705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848619380313014-0.848597859731381)×R²
    abs(-2.16008463--2.16013257)×2.15205816331832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15205816331832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15205816331832e-05×40589641000000     		ar = 67174.0639080249m²