Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20473 / 77815
↖ ↑ ↗
← S 31.931186°
W123.769226°		 ← 259.21 m → S 31.931186°
W123.766479°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
S 31.933517°
W123.769226°		 ← 259.20 m →
67 179 m²		 S 31.933517°
W123.766479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156200408935547 y=0.593685150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156200408935547 × 217)
    floor (0.156200408935547 × 131072)
    floor (20473.5)     		tx = 20473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593685150146484 × 217)
    floor (0.593685150146484 × 131072)
    floor (77815.5)     		ty = 77815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20473 / 77815 ti = "17/20473/77815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20473/77815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20473 ÷ 217
    20473 ÷ 131072     		x = 0.156196594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77815 ÷ 217
    77815 ÷ 131072     		y = 0.593681335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156196594238281 × 2 - 1) × π
    -0.687606811523438 × 3.1415926535     		Λ = -2.16018051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593681335449219 × 2 - 1) × π
    -0.187362670898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.58861719043467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16018051} λ = -2.16018051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58861719043467))-π/2
    2×atan(0.5550943440324)-π/2
    2×0.506746000167019-π/2
    1.01349200033404-1.57079632675     		φ = -0.55730433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16018051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.769226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55730433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.931186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20473 KachelY 77815 -2.16018051 -0.55730433 -123.769226 -31.931186
    Oben rechts KachelX + 1 20474 KachelY 77815 -2.16013257 -0.55730433 -123.766479 -31.931186
    Unten links KachelX 20473 KachelY + 1 77816 -2.16018051 -0.55734501 -123.769226 -31.933517
    Unten rechts KachelX + 1 20474 KachelY + 1 77816 -2.16013257 -0.55734501 -123.766479 -31.933517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55730433--0.55734501) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55730433--0.55734501) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16018051--2.16013257) × cos(-0.55730433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848683933631681 × 6371000     		do = 259.209918455397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16018051--2.16013257) × cos(-0.55734501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8486624172632 × 6371000     		du = 259.203346802632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55730433)-sin(-0.55734501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848683933631681-0.8486624172632)×R²
    abs(-2.16013257--2.16018051)×2.15163684813557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15163684813557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15163684813557e-05×40589641000000     		ar = 67179.1739789011m²